同余-费马小定理-乘法逆元与线性同余方程

update1: 初等数论部分（是对下面拓展欧几里得算法的铺垫）：

update2:由于第一开始学习理解不够深入，出现众多错误，现在看来真是误人子弟（实在太烂了），现在修改了一些错误，同时润滑了一下语言。

线性方程 ax +by =gcd（a，b）的解：

假设 特解（x0，y0） 是方程组的一组解，d=gcd(a,b),那么通解就是 x =x0+b/d*k , y=y0-a/d*k;

例如 10x+35y =5，的一组特解（-3，1），那么通解可表示为（-3+7*k，1-2*k），带入之后显然满足方程，那么我们就可以构造出无穷无尽组解符合原来的方程。

1.gcd函数既满足交换率也满足结合律：

  gcd(a,b,c)=gcd(a,b-a,c-b);

证明： 假设 d=gcd（a，b，c），那么 d|a,d|b,d|c  => d|(b-a) ,  d|(c-a)  所以d 是 （a,b-a,c-a） 的一个公约数 那么d<=gcd(a,b-a,c-b)   =>   gcd(a,b,c)<=gcd(a,b-a,c-b);

假设 d1=gcd（a，b-a，c-b），那么 有 d1 |a,d1 |(b-a),d1|(c-b) => d1(b-a+a)=> d1|b 同理 d1|c ，所以d1是 a,b,c 的一个公约数，所以 d1<=gcd(a,b,c) => gcd(a,b,c)>=gcd(a,b-a,c-b);

 所以 gcd（a ，b-a ，c-b）=gcd（a，b，c） 得证。

同余 ：如果说 a 、b 除以m 的余数相同，那么说 a 与 b 模 m 同余，记作 a≡b（m）。

整除符号是 “ | ”

费马小定理： 如果p 是质数 那么对于任意的正整数 a 都有 a^p≡a（p） 也就是说 如果a 是质数那么a的任意整数幂 与 a 模p 同余 。

乘法逆元的定义：

如果说a与b互质且b能够整除a 那么存在一个整数x 使得a/b ≡a*x（m） 则称x 为b 的模 m 的乘法逆元。记作b逆（m）；（如果说b ，m 不是互质的，乘法逆元不存在）；

首先我们用p代表模数m.

证明 1:当p 是质数是 b逆=b ^（p-2）；

有乘法逆元的定义可知 a/b≡a*b逆（p）两边同是乘以b可得 a≡a*b*b逆（p）

整理得 b*b逆≡1（p）因为p是质数满足费马小定理使用条件则，b^p≡b(p);

先把两边同时乘以b 得 b^2*b逆≡b（p）=> b^2*b逆≡b^p(p);

此时两边在同除以b^2;

得b逆=b^(p-2);

此时借助据快速幂就可以在log（p）的时间复杂度内求出逆元

快速幂求逆元：

//情景：给定 n 组 ai,pi，其中 pi 是质数，求 ai 模 pi 的乘法逆元，若逆元不存在则输出 impossible。
/*什么时候无解呢，当a是p的倍数是，一定是无解的,因为当a是p的倍数时，a%p==0定义时就不满足了，除此之外，我们都可以用费马小定理构造出逆元*/


#include
using namespace std;
#define int long long 
int qp(int a,int b,int p){
    int res=1;
    for(;b;b>>=1){
        if(b&1) res=(res*a)%p;
        a=(a*a)%p;
    }
    return res;
}
signed main(){
    int tt;
    cin>>tt;
    while(tt--){
        int a,p;
        cin>>a>>p;
        int res=qp(a,p-2,p);
        if(a%p==0)cout<<"impossible"<

推理二 ：如果仅保证b ，m 互质的情况下乘法逆元可以通过求解同余方程 b*x≡1（p）的解。

如果我们在计算过程中遇到了a/b这样的分式计算也可以先把a，b同时对p 取模 再把 a*b逆%p 作为计算的结果，是结果变成一个整数，当然这样做的前提是b 与 p 是互质的，一般题目会强调这一点。

那么现在问题就来到了如何求解同余方程了：

线性方程的引入：

裴属定理：对于任意一对正整数a，b ，一定存在整数x，y使得ax +by =Gcd（a，b）；

证明：因为a 是最大公约数的倍数，b 是最大公约数的倍数 ,所以（a*x+b*y）也是最大公约数的倍数。

ex_gcd拓展欧几里得算法：就是解决上述方程的算法。

顾名思义，拓展欧几里得算法的老爹就是欧几里得算法

1) 欧几里得算法：求a与 b的最大公约数 GCD ；

证明1：gcd（a，b）=gcd（b，a%b）；

“|” 为整除符号

推论1：设d为a,b的最大公约数，则有d |a，d | b ，那么一定有 d |（x*a+y*b）；

反过来如果一个数及能整除a又能整除b那么 这个数一定是a与b的公约数。

 因为p|a，p|b，因为a%b=a-a/b*b 我们把a/b看作常数c 那么a%b=a-c*b

所以根据推论1：p|（a-c*b）就是说 p|（a%b）；

也就是说，p也是a与a%b 的公约数，所以 gcd（a，b）=gcd(b,a%b)

因为a%b

特别的gcd(0,a)=a;

2)再来看看拓展欧几里得算法：
 若要求线性方程 ：ax +by =Gcd（a，b）：

设d 为a，b的最大公约数；

1>当b 等于零时：  x=1，y=0，顺便带出gcd（a,0）=a;

2>当b 不等于零时：

有欧几里得算法gcd（a，b）=gcd（b，a%b）=d 可知 (a%b)*x+b*y=d;

由于 取模性质  a%b =a-a/b *b （除法默认下取整）

那么 （a-a/b) x+b*y=d  => ax+b(y-ax/b )=d    （略去乘号)

化简得 a*x +b*（y-a/b *x）=d；观察一下 这不就是 ax+by=d 的变形吗。

x不变，我们只需把 （y-a/b*x）看作 y 相当于递归求解 线性方程 ax +by =Gcd（a，b）由于 y递减，最中一定可以得到答案。

因此可以采用递归算法先求出下一层的x和y 在利用上述公式回代即可；

//给定 n 对正整数 ai,bi，对于每对数，求出一组 xi,yi，使其满足 ai×xi+bi×yi=gcd(ai,bi)。
//
//输入格式
//第一行包含整数 n。
//
//接下来 n 行，每行包含两个整数 ai,bi。
#include
using namespace std;

int  exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(b==0){
		x=1,y=0;
		return a;
	}
	
	int d=exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
	return d;	
}
signed main(){
    int tt;
    cin>>tt;
    while(tt--){
	    int a,b,x,y;
		cin>>a>>b;
		exgcd(a,b,x,y);
		cout<

878. 线性同余方程
 

给定 n 组数据 ai,bi,mi，对于每组数求出一个 xi，使其满足 ai×xi≡bi(modmi)，如果无解则输出 impossible。

输入格式
第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一组数据 ai,bi,mi。

输出格式
输出共 n 行，每组数据输出一个整数表示一个满足条件的 xi，如果无解则输出 impossible。

每组数据结果占一行，结果可能不唯一，输出任意一个满足条件的结果均可。

输出答案必须在 int 范围之内。

数据范围
1≤n≤e5,
1≤ai,bi,mi≤2×e9
输入样例：
2
2 3 6
4 3 5
输出样例：
impossible
-3

启发：该问题可以转变成一个乘法逆元问题；

根据同余方程的性质：

 ai *xi ≡bi （mod mi） =>  ai*xi=mi*y+bi   =>   ai*xi-mi*y=bi   =>  ai*xi+mi（-y）=bi;

对于每组 样例求解 ax+m （-y）=b；

这样就完美的把一个同余方程转化成了线性方程，但这还不够。

我们如果想利用拓展欧几里得算法求解线性方程ax +by =Gcd（a，b）

必须把等式的右边化成 gcd（a,b）;

我们设 d=gcd（a，b）；

于是我们想到 a*（x*d/b）+m*（-y*d/b）=b*d/b  =>从而 a*（x*d/b）+m*（-y*d/b）=d；

正是因为这个变形，等式变得不一定有解了，本来根据裴属定理，如果x ，y 都是整数，方程是一定有整数解的，现在经过变形，对应原方程类x，类y 就不是整数了，线性方程的解就和 b%d 有关了，这是因为只有b%d==0，x*d/b、y*d/b 才会是整数，会有整数解，否则才就算扩大若干倍答案总会出现非整数。

我们用拓展欧几里得算法求解出这个线性方程组的解 就是 x*d/b

把这个解乘以 b/d 就是真正的x 的值了

为了方便简化方程为 ax+my’=b ，只要b能整出除d，那么 方程一定有整数解。

注：题目中并没有问我们y 的取值，我们就无需理会y 的符号所以这个程序把 -y 直接看成y 这对结果x的值没有影响，此外还用到了整数取模公式，为了避免爆int 开了long long

#include
using namespace std;
#define int long long 
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(!b) {
		x=1,y=0;
		return a;
	}
	int d=exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
	return d;
}
signed main(){
    int tt;
    cin>>tt;
    while(tt--){
		int a,b,m;
		cin>>a>>b>>m;
		int x,y;
		int d=exgcd(a,m,x,y);
		if(b%d) puts("impossible");
		else cout<<(b/d*x%m+m)%m<