树与二叉树——补充总结

总结

树的性质：

1. 树中的结点数等于所有结点的度数之和+1。

• 树结点与度之间的关系：

1. 总结点数=$n_0+n_1+...+n_m$
2. 总分支数=$1\times n_1+2\times n_2+...+m\times n_m(度为m的结点引出m条分支)$
3. 总结点数=总分支数+1

• 例： 在一棵度为4的树T中，若有20个度为4的结点，10个度为3的结点，1个度为2的结点，10个度为1的结点，则树T的叶结点个数是82。

• 设$n_0=x，n_1=10，n_2=1，n_3=10，n_4=20$。
  总结点数=x+10+1+10+20=41+x，总分支数=1×10+2×1+3×10+4×20=122；
  总结点数=总分支数+1 $\to$ 41+x=122+1 $\to$ x=82。

2. 度为m的树中第i层上至多有$m^{i-1}$个结点$(i\ge 1)$(满m叉树的情况)

• 满$m$叉树第一层只有一个根结点，第二层最多有$m$个结点，第三层最多有$m^2$个结点，…，第$i$层最多有$m^{i-1}$个结点。
  

3. 高度为$h$的$m$叉树至多有$\frac{m^h-1}{m-1}$个结点，至少有h个结点。

• 最多结点情况：高度为$h$的满$m$叉树；
  第一层：1个；第二层：$m$个；第三层：$m^2个$；第$h$层：$m^{h-1}$个。总的结点数：$1+m+m^2+...+m^{h-1}=\frac{1(1-m^h)}{1-m}=\frac{m^h-1}{m-1}$
• 最少结点情况：高度为$h$，每个结点下面连一个结点。总的结点数为$h$。
  

4. 具有$n$个结点的$m$叉树的最小高度为$\lceil lo{g}_m^{n(m-1)+1}\rceil$

• 满足高度最小，要使每层的结点数最多，即满m叉树的情况。
• 高度为$h$的$m$叉树最多有$\frac{m^h-1}{m-1}$个结点，高度为$h-1$的$m$叉树最多有$\frac{m^{h-1}-1}{m-1}$个结点。因此$\frac{m^h-1}{m-1}＜n\le \frac{m^{h-1}-1}{m-1}$

5. 高度为$h$，度为$m(m\ge 2)$的树至少有h+m-1个结点。
   
   二叉树的性质：

6. 非空二叉树中，$n_0=n_2+1$，其中$n_0$表示叶子结点数，$n_1$表示度为2的结点数。

7. 非空二叉树上第$k$层上至多有$2^{k-1}$个结点$(k\ge 1)$(满二叉树的情况)。 (参考：树的性质2)

8. 高度为$h$的二叉树至多有$2^h-1$个结点。$(h\ge 0)$(满二叉树的情况)，最少有$h$个结点。 (参考：树的性质3)

9. 具有$n$个$(n>0)$结点的二叉树的高度为$\lceil lo{g}_2^{n+1}\rceil$或$\lfloor lo{g}_2^n\rfloor +1$。(参考：树的性质4)
   10.每个结点的度或者为0或者为2的二叉树称为正则二叉树，对于n个结点的正则二叉树，它的最大高度是：$\frac{n+1}{2}$。

• 最大高度的正则二叉树是这样的二叉树：第1层有一个结点，第2层~第h层均有2个结点，因此2(h-1)+1=n，即$h=\frac{n+1}{2}$。

10. 设$n、m$为一棵二叉树上的两个结点，在中序遍历时，$n$在$m$前的条件是：$n$在$m$左方。
11. 设$n、m$为一棵二叉树上的两个结点，在后序遍历时，$n$在$m$前的条件是：$n$在$m$子孙。
12. 若某非空二叉树的先序序列和后序序列正好相反，则该二叉树的形态是：其高度等于结点个数。
    
13. 若某非空二叉树的先序序列和后序序列正好相同，则该二叉树的形态是：二叉树只有一个根结点。
14. 若某非空二叉树的先序序列和中序序列正好相反，则该二叉树的形态是：所有结点没有右子树的单支树。

森林和二叉树：

设森林F转化为对应的二叉树为B

1. 设F有3棵树，第一、第二、第三棵树的结点个数分别为$M_1、M_2、M_3$。则B根结点的右子树上的结点个数为：$M_2+M_3$。
2. B有m个结点，B的根为p，p的右子树结点个数为n，F中第一棵树的结点个数为：m-n。
3. F中叶结点的个数等于B中左孩子指针为空的结点个数。
4. 用双亲存储结构表示树，其优点之一是比较方便找指定结点的双亲结点。
5. 若F中有m个分支结点，则B中右指针域为空的结点有m+1个。
6. 用孩子链存储结构表示树，其优点之一是计算指定结点的度数比较方便。
7. 若用孩子兄弟链存储结构来存储具有$m$个叶子结点，$n$个分支结点的树，则该存储结构中有$m$个左指针域为空的结点，有$n+1$个右指针域为空的结点。
8. 一棵度为10、结点个数为n(n>100)的树采用孩子链存储结构时，其中非空指针域数占总指针域数的比例约为：10%。

• 一棵树的度为10，则采用孩子存储结构，每个结点的指针域个数为10，共有10n个指针域，其中非空的指针域个数等于分支数，即n-1，其余为空指针域，所以非空指针域数占总指针域数的比例=$\frac{n-1}{10n}\approx 10\%$。

9. 有一棵3次树，其中$n_3=2,n_2=2,n_1=1$，当该树采用孩子兄弟链存储结构时，其中非空指针域数占总指针域数的比例约为：45%。

• $n=2\times 3+2\times 2+1\times 1+1=2+2+1+n_0\to n_0=7$
  $n=12，n_0=7$。当采用孩子兄弟链存储结构时，每个结点有两个指针域，一个指向孩子，一个指向兄弟，总指针域个数为24。指向孩子或者兄弟的非空指针域个数=n-1=11，所以非空指针域数占总指针域数的比例=$\frac{11}{24}\approx 45\%$。

哈夫曼树：

1.若度为m的哈夫曼树(其中只有度为m的结点和叶子结点)中，其叶子结点个数为n，则非叶子结点的个数为：⌈$\frac{n-1}{m-1}-1$⌉。

• 在度为m的哈夫曼树中，设度为m的结点个数为$n_m$，$n=m\times n_m+1=n_m+n\to n_m=\lceil \frac{n-1}{m-1}\rceil$。

2. n个符号构成哈夫曼树，共新建了n-1个结点(双分支结点)，因此哈夫曼树的结点总数为：2n-1。

度为m的树 VS m叉树

度为m的树	m叉树
树的度：各结点的度的最大值	m叉树：每个结点最多只能有m个孩子的树
至少有一个结点的度等于m	允许所有结点的度都小于m
一定是非空树，至少有m+1个结点	可以是空树
任意结点的度≤m

设二叉树的存储结构为二叉链表，有关二叉树的递归算法

• 二叉树的递归算法主要基于先序/中序/后序遍历的递归代码，根据不同算法要完成的功能做相应的实现，原始的三种递归算法如下：

void PreOrder(BiTNode* t) //先序遍历
{
    if (t != NULL) //不是空树时遍历
    {
        printf("%c ", t->data); //访问根节点
        PreOrder(t->lchild); //先序遍历左子树
        PreOrder(t->rchild); //先序遍历右子树
    }
}

void InOrder(BiTNode* t) //中序遍历
{
    if (t != NULL)
    {
        InOrder(t->lchild);
        printf("%c ", t->data);
        InOrder(t->rchild);
    }
}

void PostOrder(BiTNode* t) //后序遍历
{
    if (t != NULL)
    {
        PostOrder(t->lchild);
        PostOrder(t->rchild);
        printf("%c ", t->data);
    }
}

• 统计二叉树中度为0 / 度为1 / 度为2的结点个数

• 点击 ！参见第四题

• 统计二叉树的高度/宽度

• 求二叉树高度三种方法：①后序遍历非递归 ②层序遍历非递归 ③递归
  点击 ！参见第九题
• 求二叉树宽度：层次遍历非递归算法 点击 ！参见最后一题

• 从二叉树中删去所有叶结点

void Delete_Leaf(BiTNode* t)
{
    if (t != NULL)
    {
        if (t->lchild != NULL) //左子树中的叶子结点
            if (t->lchild->lchild == NULL && t->lchild->rchild == NULL)
            {
                free(t->lchild);
                t->lchild = NULL;
            }
        if (t->rchild != NULL) //右子树中的叶子结点
            if (t->rchild->lchild == NULL && t->rchild->rchild == NULL)
            {
                free(t->rchild);
                t->rchild = NULL;
            }
        Delete_leaf(t->lchild); //递归删除左子树中的叶结点
        Delete_leaf(t->rchild); //递归删除右子树中的叶结点
    }
}

运行结果：

• 计算指定结点*p所在的层次

int GetLevel(BiTree T, BiTNode *p) //计算指定结点*p所在的层次
{
	if (T == NULL) return 0; //空树
	if (T == p) return 1; //指定结点为根节点
	int depl = GetLevel(T->lchild, p); //递归在左子树中查找
	int depr = GetLevel(T->rchild, p); //递归在右子树中查找
	if (depl || depr)  return (depl > depr) ? 1 + depl : 1 + depr; 
	//使用三目运算符返回左、右子树中深度大的值，加上根节点的高度1
	return 0; //不存在指定结点*p
}

运行结果：

• 计算二叉树中各结点中的最大 / 最小元素的值

• 点击！参见第十六题

• 交换二叉树中每个结点的两个子女(左、右子树交换)

• 点击 ！参见第五题

• 以先序/中序/后序次序输出一颗二叉树中所有结点的数据值及结点所在的层次

• 以先序递归为例，中序和后序只需要调整递归的三行代码的顺序即可：

void NodeAndLevel(BiTNode* t, int i) //以先序序列输出一棵二叉树中的所有结点的数据值及结点所在层次
{//第一次调用为PreAndLevel(T, 1);
    if (t != NULL)
    {
        printf("data=%c，level=%d\n", t->data, i);
        PreAndLevel(t->lchild, i + 1);
        PreAndLevel(t->rchild, i + 1);
    }
}

运行结果：

• 二叉树的非递归算法主要有：先序/中序/后序/层序的非递归算法，其中层序遍历使用比较广泛，它需要借助队列来实现，在层序算法中可以标记每一个结点的序号，如下图，这种方法同样可以解决二叉树中的许多问题。
  
• 统计二叉树的高度/宽度
• 某i的结点个数 / 每层的结点个数 / 第i层中的第j个结点

• 点击！参考最后两题非递归算法的实现