解析几何之目：2018年数学全国卷B题20

2018年数学全国卷B题20

分值：12分

设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与 交于 两点，.

（1）求 的方程;
（2）求过点 且与 的准线相切的圆的方程.

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【第1问的解法一】

由椭圆方程可知：焦距 ; 焦点坐标为

是过焦点的弦，其长度与倾角存在以下关系：

∵ , ∴ .

直线 的方程为： .

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【第1问的解法二】

抛物线 的焦距 ,

焦点为 ，过焦点的直线方程可设为：.

联立直线与抛物线方程得：

又∵ , ,

∴ .

直线 的方程为：.

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【问题2的解法一】

记点的坐标为 ，并记 中点为 .

∵ 点 在曲线 上，∴ .

根据问题1的结论，, ∴ ,

.

中点坐标为 .

坐标分别为 .

弦 的垂直平分线方程为：

记所求圆的圆心为 . 圆心在弦 的垂直平分线上，其坐标可设为：.

抛物线 的准线为：.

因为圆 与准线相切，所以

;

;

结论：过点 且与 的准线相切的圆有两个：

.

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【第2问的解法二】

因为 是抛物线上的弦，

的垂直平分线的斜率为 ，其方程为：

圆心在此直线上，其坐标可设为

圆心到准线的距离与到 两点的距离相等，由勾股定理可得：

相应的圆的方程为：

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【提炼与提高】

在直角坐标系中，应用韦达定理，可以根据方程求弦长，也可以根据弦长求斜率。

对于抛物线的焦点弦，还有以下弦长公式可用：

该公式可从抛物线的极坐标推出，对于提高解题速度，是很在帮助的.

第2问的解答中，数形结合作了分析。根据垂径定理可知：圆心在弦的垂直平分线上。为了求出圆心坐标，我们使用了「点差法」，根据弦的斜率迅速地求出了弦的中点坐标。

第2问的两个解法区别不大。解法一是先求出 两点的坐标，根据距离公式列方程；解法二则根据勾股定理列方程。

本题难度不高。解答过程中用到的都是基本概念和常用操作。

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