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前言

根据李永乐老师课程学习。主要记载矩阵相关的性质、定理等知识,不会进行定理推导、证明。

矩阵概念及其运算

矩阵概念

矩阵:如下图的m×n个数排列出的表格,成为m×n矩阵,当m=n时,成为n阶矩阵或n阶方阵。记作A。如果所有元素都是0,就称它为0矩阵,记为0。

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矩阵使用的实例:

有9个地点,x3表示这两地有三条道路可以走。

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我们可以列出描述两地间走法的矩阵

a-b之间的矩阵a行,b列

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b-c之间的矩阵b行c列

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对于a到c呢?只需要再添加一步就可以求得a-c间的各种走法,将在后面两矩阵相乘讲解。

同型矩阵:两个都是mXn的矩阵,就称这两个矩阵同型。

矩阵相等:在同型条件下,两矩阵对应位置元素相等。

对角矩阵:除主对角线外,其他位置元素为0。

单位矩阵:如果对角矩阵对角线元素全是1,那么就叫单位矩阵。

上三角矩阵:以主对角线为界限,主对角线以及对角线上方不全为零,主对角线下方全为0。

下三角矩阵:与上三角矩阵元素位置相反。(参考上三角矩阵)

矩阵的计算

矩阵加减法:条件:两个同型矩阵。两同型矩阵相加减,对应位置元素相加减。

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数与矩阵相乘:写作kA。

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两矩阵的乘法

还是之前的例子

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a2-c1有:2X2+2X4

a2-c2有:2X1+2X5

都是相乘再相加的形式,很熟悉是吧,将这种形式再次转化成矩阵。

对于矩阵乘法,要求AB,A的列数=B的行数,即A(m行,n列),B(n行,j列)。AB=C,C(m行,j列)

新产生的C矩阵的元素c(m行,j列)=a(m行,对应位置)Xb(j列对应位置)再求和,即

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运算法则

矩阵的乘法有顺序,AB≠BA

AB=0,A或B不一定为0矩阵

AB=AC,且A≠0,无法推出B=C

A+B=B+A

(A+B)+C=A+(B+C)=A+B+C

k(mA)=m(kA)=(mk)A

(k+m)A=kA+mA

k(A+B)=kA+kB

1A=A

0A=0

(AB)C=A(BC)=ABC

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

AE=A

EA=A

A为n阶矩阵,AA=A²

矩阵转置

将矩阵的行列互换,第一行变第一列,第二行变第二列……成为矩阵的转置矩阵,A矩阵的转置矩阵记作:

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转置的运算法则

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对称矩阵:

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反对称矩阵:

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此外

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方阵的行列式

一个n阶矩阵元素不动,转化为行列式。记为:

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注:只有方阵才有对应的行列式,因为行列式必须是方的。矩阵为非0矩阵,行列式也可能为0。

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伴随矩阵

定义:如果A是一个n阶矩阵,将矩阵中个元素的位置换成其对应的代数余子式。

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定理:

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可逆矩阵

定义:对于n阶矩阵A,如果存在n阶矩阵B使得AB=BA=E,则称A可逆,B为A的逆矩阵。

如果A可逆,那么它的逆矩阵唯一。

如果A可逆,它一定可以写成若干初等矩阵的乘积。

如果A可逆,那么A的行列式值不等于0。

如果A可逆,k≠0,那么kA也可逆。

如果A、B均可逆,那么AB也可逆。

     9b7f6f813c925701a6b6325161c89b42.png

A可逆,A的转置也可逆。

     d29b0151e5f335d3225ada65a2f52bf2.png

有一推论,当A、B是n阶矩阵时:

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求逆矩阵的一种方法:通过拼接这样的矩阵,在经过若干次初等行班变换。

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主对角矩阵

对角阵只有主对角线上有非零元素,其他位置全为0。

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分块矩阵

例如下面的矩阵,就可以在第二行、第二列的位置切开,分成一个2X2的矩阵与3个1X1矩阵。

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方程组的矩阵写法

上面的方程组就等价于下面的矩阵写法。

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这样的形式统一写为 Ax=b 其中A是系数矩阵;x是未知数矩阵;b是常系数矩阵。

矩阵的初等变换与线性方程组

高斯消元法

算法就是几个方程之间加减消元,化简为单一变量,这里不再详细叙述,这是解方程组的最基本(常用的方法)。

矩阵的初等行变换(同解变形)

1.用非0数乘以某个方程;

2.将一个方程的k倍加到另一个方程上;

3.交换两方程位置;

这就是通解变形,高斯消元法所使用的手段;根据之前的方程组的矩阵写法,只考虑系数的情况下,也使用同样的方法对矩阵的行进行变换。同样也能化成高斯消元法的最终形式。(方程组的矩阵形式中的例子举例)

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这样化简出的阶梯型矩阵就可以求解方程组了。

一共有4个未知数,其独立的未知数个数等于阶梯个数(3),所以有无穷多解

矩阵的初等变换

包括初等行变换(上面所讲到的),初等列变化(行换成列即可)

初等矩阵:单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵。

使用初等矩阵与另一个矩阵做乘积,即

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当为PA时,叫做左乘,AP为右乘,左乘等价于对A进行初等矩阵相同的行变换,右乘等价于对A进行初等矩阵相同的列变换。

矩阵等价:A矩阵经过若干次初等变换,变成矩阵B,则称A与B等价。记作

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矩阵等价有如下性质

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行阶梯矩阵

定义:设A-mXn,若满足:(1)就诊如有0行,0行都在矩阵底部。(2)每个非0行主元(即该行最左边第一个非0元素)所在类的下面元素都是0,则称A为行阶梯矩阵。

行最贱矩阵

定义:设A-mXn,若A是行阶梯矩阵,且还满足:非零元素都是1,且主元所组啊咧的其他元素都是0。

矩阵的秩

秩的概念、计算

k阶子式:在mXn矩阵A中,任取k行与k列(k不大于m和n)位置,这些行与列的交叉点上的k²各元素按其在原来矩阵A的次序可构成一个k阶行列式,撑起为矩阵的k阶子式。

秩:若矩阵A中存在r阶子式不为0,r+1阶子式(若存在)全为0,则矩阵A的秩为r。记成r(A)=r。零矩阵的秩规定为0。

经初等变换,矩阵的秩不变。

若可逆矩阵P、Q,使得PAQ=B,则r(A)=r(B)

秩的性质

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线性方程组有解判定

对于非齐次方程组:Ax=b,A表示系数矩阵,x是未知数矩阵,b是常数项。形成的矩阵没一行对应一个方程。

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这样就就能使用系数矩阵和常数项组合出增广矩阵。

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再化简成行阶梯矩阵。

若果d1=0,则方程组有解否则无解。

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解的判定方法

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