URAL 1996 Cipher Message 3（KMP+FFT）
题目链接：http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1996
题意：给出两个长度分别为n和m的数列A和B，每个数字均使用8位的二进制表示。现在只能修改A数列的每个数字的最后一位。求最少需要修改多少个数字使得B是A的substring？
思路：由于前7位不能改变，因为先把前7位单独拿出来做一次KMP，记录A的哪些位置完全匹配了B。那么，第二步就是枚举这些位置，看要修改多少个数字，所有位置的最小值就是答案。我们把A和B的所有数字的最后一位拿出来组成两个长度分别为n和m的01串strA和strB。然后把strB翻转得到strB1，然后strB1再与strA做卷积，得到数列C，那么C[i+m-1]就是strA的i位置向后m个位置匹配strB，有多少个位置两个串在该位置上都是1，因为：
C[i+m-1]=strA[i]*strB1[m-1]+strA[i+1]*strB1[m-1-1]+……+strA[i+m-1]*strB1[m-1-(m-1)]
=strA[i]*strB[0]+strA[i+1]*strB[1]+……+strA[i+m-1]*strB[m-1]
然后将strA和strB的所有数字取反再进行一次我们能够得到有多少个位置两个串在该位置上都是0。那么我们就能计算出A的某个位置匹配B有多少位置需要改变。
struct node
{
double x,y;
node(double _x=0.0,double _y=0.0)
{
x=_x;
y=_y;
}
node operator+(node a)
{
return node(x+a.x,y+a.y);
}
node operator-(node a)
{
return node(x-a.x,y-a.y);
}
node operator*(node a)
{
return node(x*a.x-y*a.y,x*a.y+y*a.x);
}
};
node A[N];
int L;
int reverse(int x)
{
int ans=0,i;
FOR0(i,L) if(x&(1<<i)) ans|=1<<(L-1-i);
return ans;
}
void bitReverseCopy(node a[],int n)
{
int i;
FOR0(i,n) A[i]=a[i];
FOR0(i,n)
{
a[reverse(i)]=A[i];
}
}
void fft(node a[],int n,int on)
{
bitReverseCopy(a,n);
int len,i,j,k;
node x,y,u,t;
for(len=2;len<=n;len<<=1)
{
x=node(cos(-on*2*PI/len),sin(-on*2*PI/len));
for(j=0;j<n;j+=len)
{
y=node(1,0);
for(k=j;k<j+len/2;k++)
{
u=a[k];
t=y*a[k+len/2];
a[k]=u+t;
a[k+len/2]=u-t;
y=y*x;
}
}
}
if(on==-1)
{
FOR0(i,n) a[i].x/=n;
}
}
node a[N],b[N],tempA[N],tempB[N];
int n,m,M;
int d1[N],d2[N];
int Next[N],pos[N];
void getNext()
{
Next[1]=0;
int i,j=0;
for(i=2;i<=m;i++)
{
while(j&&d2[j+1]!=d2[i]) j=Next[j];
if(d1[j+1]==d2[i]) j++;
Next[i]=j;
}
}
void KMP()
{
getNext();
int i,j=0;
FOR1(i,n) pos[i]=0;
for(i=1;i<=n;i++)
{
while(j&&d2[j+1]!=d1[i]) j=Next[j];
if(d2[j+1]==d1[i]) j++;
if(j==m)
{
pos[i-m+1]=1,j=Next[j];
}
}
}
int cnt1[N],cnt2[N];
int main()
{
Rush(n)
{
RD(m);
int i,j,k;
char str[10];
FOR1(i,n)
{
RD(str+1);
k=0;
FOR1(j,7) k=k*2+str[j]-'0';
d1[i]=k;
a[i-1]=node(str[8]-'0',0);
}
FOR1(i,m)
{
RD(str+1);
k=0;
FOR1(j,7) k=k*2+str[j]-'0';
d2[i]=k;
b[m-i]=node(str[8]-'0',0);
}
KMP();
M=1; L=0;
while(M<n+m) M<<=1,L++;
for(i=n;i<=M;i++) a[i]=node(0,0);
for(i=m;i<=M;i++) b[i]=node(0,0);
FOR0(i,M) tempA[i]=a[i],tempB[i]=b[i];
fft(a,M,1);
fft(b,M,1);
FOR0(i,M) a[i]=a[i]*b[i];
fft(a,M,-1);
FOR0(i,M) cnt1[i]=(int)(a[i].x+0.5);
FOR0(i,n) tempA[i].x=1-tempA[i].x;
FOR0(i,m) tempB[i].x=1-tempB[i].x;
fft(tempA,M,1);
fft(tempB,M,1);
FOR0(i,M) tempA[i]=tempA[i]*tempB[i];
fft(tempA,M,-1);
FOR0(i,M) cnt2[i]=(int)(tempA[i].x+0.5);
int ans=INF,ansPos,temp;
for(i=1;i<=n;i++) if(pos[i])
{
temp=m-cnt1[i-1+m-1]-cnt2[i-1+m-1];
if(temp<ans) ans=temp,ansPos=i;
}
if(ans==INF) puts("No");
else puts("Yes"),PR(ans,ansPos);
}
}