多重背包问题的优化 学习笔记 AcWing 5. 多重背包问题 II（算法基础课）

乘法原理

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乘法原理是说把多个步骤的所有方法相乘，表示整个事件所有可能的解决方法

原题

有 N� 种物品和一个容量是 V� 的背包。

第 i� 种物品最多有 si�� 件，每件体积是 vi��，价值是 wi��。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V�，�，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N� 行，每行三个整数 vi,wi,si��,��,��，用空格隔开，分别表示第 i� 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0 0 0

提示：

本题考查多重背包的二进制优化方法。

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例：

10

难度：中等

时/空限制：1s / 64MB

总通过数：75903

总尝试数：164479

来源：背包九讲 , 模板题

算法标签

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挑战模式

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代码

#include
using namespace std;

const int N=11000+10,M=2000+10;
int v[N],w[N];
int f[M];

int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    
    int cnt=0;
    for(int i=0;i0)
        {
            cnt++;
            v[cnt]=s*a;
            w[cnt]=s*b;
        }
    }
    
    n=cnt;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=m;j>=v[i];j--)
        {
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    
    printf("%d\n",f[m]);
    return 0;
}

总结

一、二进制优化

 1.不优化的情况的时间复杂度是N^3，在数据范围比较大的时候会超时，所以我们选择二进制优化，把一维的N优化为logN，时间复杂度变为N^2*logN，可以通过这道题

2.思路是，给定了物品数目s,可以选择0件，1件，2件，……，s件物品，一个一个循环的话需要循环s+1次才能表示所有的情况，如果我们使用二进制的话，int范围内都只需要32位数字，就可以表示所有数字，数据范围是2000，只需要最多11个数字，2^11=2048，2^0,2^1,2^2,...2^11,二进制表示本质和01背包就很相似，每一个数位选择0或者是1，从而可以表示所有数字

3.注意一个一般化的情况，物品的件数s不是2的整数次幂，比如数字10，2^0=1,2^1=2,2^2=4,2^3=8,0+1+2+4+8>10,如果选择到数字2^3=8，超过了我们最多可以选择的件数10，这会造成理论上可以选择多件物品，但是实际上只有10件物品可以选择，所以我们只能选择到2^2=4,0+1+2+4=7,再补充一个数字10-7=3,原来的0，1，2，4可以表示0~7范围的所有数字，加上数字3之后，可以表示0~10范围的所有数字，0，1，2，4表示0~7范围内所有数字的方法就是二进制计数，每一个数位是否选择该数字

- - - -：000        0        0

- - - - ：001        1        1

- - - -：010        2        2

- - - -：011        3        1+2

- - - -：100        4        4

- - - -：101        5        4+1

- - - - ：110        6        4+2

- - - - ：111        7        4+2+1

二、代码细节

1.表示物品的数组的容量是 1000*11（二进制优化），表示答案的数组的容量是2000，都增加10防止数组越界

2.本质是把一件物品拆成多组物品，是否选择该组物品，从而把多重背包转换成01背包来进行求解

3.用一个计数器来存数组下标，和单链表的dix类似，while循环之后加一个if特判，表示最后一种情况，和质因数分解类似，也是判断最后处理的结果

4.原来的n件物品变成了现在的cnt件物品，因为计数器从1开始作为数下标存储物品的体积和价值，所以套用01背包模板的时候要从1开始遍历，01背包模板的第二层循环体积从大到小遍历