《算法通关村——数论问题解析》
《算法通关村——数论问题解析》
辗转相除法
辗转相除法又叫做欧几里得算法,是公元前 300 年左右的希腊数学家欧几里得在他的著作《几何原本》提出的。最大公约数(greatest common divisor，简写为gcd），是指几个数的共有的因数之中最大的一个，例如 8 和 12 的最大公因数是 4，记作 gcd(8,12)=4。辗转相除法最重要的规则是，若 r 是 a ÷ b 的余数, 则gcd(a,b) = gcd(b,r)。例如计算 gcd(546, 429)：
由于 546=1(429)+117
429=3(117)+78
117=1(78)+39
78=2(39)
因此
gcd(546, 429)
=gcd(429, 117)
=gcd(117, 78)
=gcd(78, 39)
=39
public static int gcd(int a,int b){
int k = 0;
do{
k = a % b;
a = b;
b= k;
}while(k==0);
return k;
}
素数和合数
我们看一下素数和合数的问题。素数又称为质数，素数首先要满足大于等于2，并且除了1和它本身之外，不能被任何其他自然数整除。其他数都是合数。比较特殊的是1即非素数，也非合数。2是唯一的同时为偶数和素数的数字。
有了定义，自然第一个问题就是如何判断一个正整数是否为素数。题目要求：给定一个正整数n(n<10^9)，判断它是否为素数。
基本的方式是从2开始依次与n取余测试，看看是否出现n%i==0的情况，如果出现了则说明当前的n能被i整除，所以就不是。理论上一直测试到n-1，假如都不是，那就是素数了。
而事实上不需要测试这么多，只要从2开始遍历一直到n^(1/2)就可以 ，不用执行到n-1。这个是有明确的数学证明的，我们不再赘述，如果不知道请回家问高中老师。所以实现代码就是：
boolean isPrime(int num) {
int max = (int)Math.sqrt(num);
for (int i = 2; i <= max; i++) {
if (num % i == 0) {
return false;
}
}
return true;
}
埃氏筛
基本思想是如果 x是质数，那么大于 x 的 xy的倍数 2x. 3x… 一定不是质数，因此我们可以从这一点入手。如下图所示:
我们先选中数字2，2是素数，然后将2的倍数全部排除（在数组里将该位置标记为0就行了）。
接着我们选中数字3，3是素数，然后将3的倍数全部排除。
接着我们选择数字5，5是素数，然后将5的倍数全部排除。
接着我们选择 7，11，13一直到n，为什么 4 、6、8 、9 …不会再选择了呢？因为我们已经在前面的步骤中，将其变成0了。所以实现代码如下：
public static int countPrimes(int n) {
int[] primes = new int[n];
Arrays.fill(primes,1);
int count = 0;
for(int i = 2;i丑数问题
我们把只包含质因子 2、3 和 5 的数称作丑数（Ugly Number），求按从小到大的顺序的第 n 个丑数。
示例：
输入: n = 10
输出: 12
解释: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 是前 10 个丑数.根据丑数的定义，0 和负整数一定不是丑数。
当 n>0 时，若 n 是丑数，则 n 可以写成 n = 2^a + 3^b + 5^c 的形式，其中 a,b,c 都是非负整数。特别地，当 a,b,c 都是 000 时，n=1。
为判断 n 是否满足上述形式，可以对 n 反复除以 2,3,5，直到 n 不再包含质因数 2,3,5。若剩下的数等于 1，则说明 n 不包含其他质因数，是丑数；否则，说明n包含其他质因数，不是丑数。
public class IsUgly {
public static boolean isUgly(int n){
int[] values = {2,3,5};
for(int value : values){
while(n%value==0){
n/=value;
}
}
return n==1;
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println(isUgly(10));
}
}
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