数据结构-查找技术
- 查找的基本概念
- 线性表的查找技术
- 树表的查找技术
- 散列表的查找技术
一：基本概念
一条数据称为记录；
1.基本概念
- 关键码：可以标识一个记录的某个数据项。
- 键值：关键码的值。
- 关键码：可以唯一地标识一个记录的关键码。
- 次关键码：不能唯一地标识一个记录的关键码。
- 查找 ：在具有相同类型的记录构成的集合中找出满足给定条件的记录。
- 给定的查找条件可能是多种多样的，为便于讨论，把查找条件限制为“匹配”，即查找关键码等于给定值的记录。
- 查找的结果 ：若在查找集合中找到了与给定值相匹配的记录，则称查找成功；否则，称查找失败。就例如sql查询具体信息以及计数。
- 静态查找 ：不涉及插入和删除操作的查找 。
- 动态查找 ：涉及插入和删除操作的查找。
- 静态查找适用于：查找集合一经生成，便只对其进行查找，而不进行插入和删除操作，或经过一段时间的查找之后，集中地进行插入和删除等修改操作；
- 动态查找适用于：查找与插入和删除操作在同一个阶段进行，例如当查找成功时，要删除查找到的记录，当查找不成功时，要插入被查找的记录。
2.查找结构
查找结构 ：
面向查找操作的数据结构 ，即查找基于的数据结构。
查找结构，决定查找方法
集合中元素之间不存在明显的组织规律，不便查找。
分为三种查找结构：线性表、树、散列表：
- 线性表：适用于静态查找，主要采用顺序查找技术和折半查找技术。
- 树表：适用于动态查找，主要采用二叉排序树的查找技术。
- 散列表：静态查找和动态查找均适用，主要采用散列技术。
查找算法的性能：
查找算法时间性能通过关键码的比较次数来度量。
关键码的比较次数与哪些因素有关呢？
平均查找长度：将查找算法进行的关键码的比较次数的数学期望值定义为平均查找长度，即：
ci取决于算法；pi与算法无关，取决于具体应用。如果pi是已知的，则平均查找长度只是问题规模的函数。
二：线性表的查找技术
1.顺序查找 （线性查找）
基本思想：从线性表的一端向另一端逐个将关键码与给定值进行比较，若相等，则查找成功，给出该记录在表中的位置；若整个表检测完仍未找到与给定值相等的关键码，则查找失败，给出失败信息。
例：查找k＝35
int SeqSearch1(int r[ ], int n, int k)
//数组r[1] ~ r[n]存放查找集合
{
i = n;
while (i > 0 && r[i] != k)
i--;
return i;
}
改进版本：
基本思想：设置“哨兵”。哨兵就是待查值，将它放在查找方向的尽头处，免去了在查找过程中每一次比较后都要判断查找位置是否越界，从而提高查找速度
例：查找k＝35
int SeqSearch2(int r[ ], int n, int k)
//数组r[1] ~ r[n]存放查找集合
{
r[0] = k; i = n;
while (r[i] != k)
i--;
return i;
}
注：
缺点：平均查找长度较大，特别是当待查找集合中元素较多时，查找效率较低。
有点：算法简单使用范围广
对表中记录的存储没有任何要求，顺序存储和链接存储均可；
对表中记录的有序性也没有要求，无论记录是否按关键码有序均可。
2.折半查找
使用条件：
线性表中的记录必须按关键码有序；
必须采用顺序存储。
基本思想：在有序表中，取中间记录作为比较对象，若给定值与中间记录的关键码相等，则查找成功；若给定值小于中间记录的关键码，则在中间记录的左半区继续查找；若给定值大于中间记录的关键码，则在中间记录的右半区继续查找。不断重复上述过程，直到查找成功，或所查找的区域无记录，查找失败。
折半查找——非递归算法
int BinSearch1(int r[ ], int n, int k)
{ //数组r[1] ~ r[n]存放查找集合
low = 1; high = n;
while (low <= high)
{
mid = (low + high) / 2;
if (k < r[mid]) high = mid - 1;
else if (k > r[mid]) low = mid + 1;
else return mid;
}
return 0;
}
折半查找——递归算法
int BinSearch2(int r[ ], int low, int high, int k)
{ //数组r[1] ~ r[n]存放查找集合
if (low > high) return 0;
else {
mid = (low + high) / 2;
if (k < r[mid])
return BinSearch2(r, low, mid-1, k);
else if (k > r[mid])
return BinSearch2(r, mid+1, high, k);
else return mid;
}
}
折半查找性能分析:
查找成功：在表中查找任一记录的过程，即是折半查找判定树中从根结点到该记录结点的路径，和给定值的比较次数等于该记录结点在树中的层数。
查找不成功：查找失败的过程就是走了一条从根结点到外部结点的路径，和给定值进行的关键码的比较次数等于该路径上内部结点的个数。
具有n个结点的折半查找判定树的深度为:
+1
三：树表的查找
1.二叉排序树
二叉排序树的定义采用的是递归方法：
二叉排序树（也称二叉查找树）：或者是一棵空的二叉树，或者是具有下列性质的二叉树：
⑴ 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；
⑵ 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值；
⑶ 它的左右子树也都是二叉排序树。
注：中序遍历是指树的遍历方式，有前中后三种，后续再补充；
此次描述二叉树的查找，插入、删除等操作暂定；
注：树也可以，用可以用无穷极菜单来理解、
或者手工组装一个json树结构，例如甲方a,任务分配给b,c,b又分配给d,json结构可以看作为，三层结构，第一层1个集合，第二层两个集合，第三层三个集合；
在二叉排序树中查找给定值k的过程是：
- ⑴ 若root是空树，则查找失败；
- ⑵ 若k＝root->data，则查找成功；
- 否则 ⑶ 若k＜root->data，则在root的左子树上查找；
- 否则 ⑷ 在root的右子树上查找。
上述过程一直持续到k被找到或者待查找的子树为空，如果待查找的子树为空，则查找失败。 二叉排序树的查找效率在于只需查找二个子树之一。
BiNode *BiSortTree::SearchBST(BiNode *root, int k)
{
if (root == NULL)
return NULL；
else if (root->data == k)
return root;
else if (k < root->data)
return SearchBST(root->lchild, k);
else return SearchBST(root->rchild, k);
}
二叉排序树的查找性能分析：
由序列{1, 2, 3, 4, 5}得到二叉排序树：ASL =（1+2+3+4+5）/ 5= 3
由序列{3, 1, 2, 5, 4}得到二叉排序树：ASL =（1+2+3+2+3）/ 5 = 2.2
二叉排序树的查找性能取决于二叉排序树的形状，在O(log2n)和O(n)之间。
2.平衡二叉树
四：散列表
前提疑问：
1.查找操作要完成什么任务？
通过：待查值k，来确定k在存储结构中的位置；
2.学过的查找技术？这些查找技术的共性？
顺序查找、折半查找、二叉排序树查找等。
这些查找技术都是通过一系列的给定值与关键码的比较，查找效率依赖于查找过程中进行的给定值与关键码的比较次数。
3.能否不用比较，通过关键码直接确定存储位置？
在存储位置和关键码之间建立一个确定的对应关系。
（有点像数据库索引的功能）
1.基本概念
散列的基本思想：在记录的存储地址和它的关键码之间建立一个确定的对应关系。这样，不经过比较，一次读取就能得到所查元素的查找方法。
（像索引文件）
散列表：采用散列技术将记录存储在一块连续的存储空间中，这块连续的存储空间称为散列表。
散列函数：将关键码映射为散列表中适当存储位置的函数。
散列地址：由散列函数所得的存储地址 。
- 散列技术仅仅是一种查找技术吗？
- 散列既是一种查找技术，也是一种存储技术。
- 散列是一种完整的存储结构吗？
- 散列只是通过记录的关键码定位该记录，没有完整地表达记录之间的逻辑关系，所以，散列主要是面向查找的存储结构。
2.应用场景
散列技术一般不适用于允许多个记录有同样关键码的情况。散列方法也不适用于范围查找，换言之，在散列表中，我们不可能找到最大或最小关键码的记录，也不可能找到在某一范围内的记录
散列技术最适合回答的问题是：如果有的话，哪个记录的关键码等于待查值。
注：
散列技术的关键问题：
⑴ 散列函数的设计。如何设计一个简单、均匀、存储利用率高的散列函数。
⑵ 冲突的处理。如何采取合适的处理冲突方法来解决冲突。
冲突：对于两个不同关键码ki≠kj，有H(ki)＝H(kj)，即两个不同的记录需要存放在同一个存储位置,ki和kj相对于H称做同义词。
3.散列函数设计原则
⑴ 计算简单。散列函数不应该有很大的计算量，否则会降低查找效率。
⑵ 函数值即散列地址分布均匀。函数值要尽量均匀散布在地址空间，这样才能保证存储空间的有效利用并减少冲突。
4.散列函数
4.1.直接定址法
散列函数是关键码的线性函数，即：
H(key) = a key + b （a，b为常数）
例：关键码集合为{10, 30, 50, 70, 80, 90}，选取的散列函数为H(key)=key/10，则散列表为：
适用情况？
事先知道关键码，关键码集合不是很大且连续性较好
4.2除留余数法
散列函数为：
H(key)=key mod p
如何选取合适的 p，产生较少同义词？
例： p ＝21＝3×7
一般情况下，选p为小于或等于表长（最好接近表长）的最小素数或不包含小于20质因子的合数。
适用情况？
除留余数法是一种最简单、也是最常用的构造散列函数的方法，并且不要求事先知道关键码的分布。
4.3数字分析法
根据关键码在各个位上的分布情况，选取分布比较均匀的若干位组成散列地址。
例：关键码为8位十进制数，散列地址为2位十进制数
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
8 1 3 4 6 5 3 2
8 1 3 7 2 2 4 2
8 1 3 8 7 4 2 2
8 1 3 0 1 3 6 7
8 1 3 2 2 8 1 7
8 1 3 3 8 9 6 7
适用情况:
能预先估计出全部关键码的每一位上各种数字出现的频度，不同的关键码集合需要重新分析
4.4平方取中法
对关键码平方后，按散列表大小，取中间的若干位作为散列地址（平方后截取）。
例：散列地址为2位，则关键码123的散列地址为：
(1234)2＝1522756
适用情况:
事先不知道关键码的分布且关键码的位数不是很大
4.5折叠法
将关键码从左到右分割成位数相等的几部分，将这几部分叠加求和，取后几位作为散列地址
例：设关键码为2 5 3 4 6 3 5 8 7 0 5，散列地址为三位。
适用情况:
关键码位数很多，事先不知道关键码的分布。
5.处理冲突
5.1开放定址法
由关键码得到的散列地址一旦产生了冲突，就去寻找下一个空的散列地址，并将记录存入。
如何寻找下一个空的散列地址?
（1）线性探测法 （2）二次探测法 （3）随机探测法
5.2拉链法（链地址法）
- 基本思想：将所有散列地址相同的记录，即所有同义词记录存储在一个单链表中（称为同义词子表），在散列表中存储的是所有同义词子表的头指针。
- 用拉链法处理冲突构造的散列表叫做开散列表。 开散列表不会出现堆积现象。
- 设n个记录存储在长度为m的散列表中，则同义词子表的平均长度为n / m。
例：关键码集合 {47, 7, 29, 11, 16, 92, 22, 8, 3}，散列函数为H(key)=key mod 11，用拉链法处理冲突，构造的开散列表为：
伪代码：
1. 计算散列地址j；
2. 在第j个同义词子表中顺序查找；
3. 若查找成功，则返回结点的地址；
否则，将待查记录插在第j个同义词子表的表头。
c++
Node *HashSearch2(Node *ht[ ], int m, int k)
{
j = H(k);
p = ht[j];
while (p != NULL && p->data != k)
p = p->next;
if (p->data == k) return p;
else {
q = new Node; q->data = k;
q->next = ht[j];
ht[j] = q;
}
}
6.总结
散列查找的性能分析：
- 由于冲突的存在，产生冲突后的查找仍然是给定值与关键码进行比较的过程。
- 在查找过程中，关键码的比较次数取决于产生冲突的概率。影响冲突产生的因素有：
- （1）散列函数是否均匀 （2）处理冲突的方法 （3）散列表的装载因子
