MATLAB 矩阵及运算
文章目录
- 前言
- 一、矩阵的创建
- 二、矩阵的基本操作
-
- 1.矩阵元素的访问
- 2.取子数组
- 3.矩阵元素赋值
- 4.矩阵的拼接与扩展
- 5.矩阵元素的删除
- 三、矩阵的算术运算
-
- 1.基本矩阵运算
- 2.向量（数组）运算
- 四、矩阵的关系逻辑运算
-
- 1.关系运算符
- 2.逻辑运算符
- 五、矩阵相关函数
- 总结
前言
相比较其他语言MATLAB 在处理矩阵和向量方面可谓功能十分强大，以下主要记录整理学习过程中一些矩阵的操作
一、矩阵的创建
1.1矩阵的创建：
将矩阵的元素用方括号括起来，按矩阵行的顺序输入各元素；
同一行的元素间用逗号或空格隔开，行与行之间用分号或回车键隔开
例如：
>> a=[1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9] %矩阵创建
a =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> a=[1, 2, 3] %行向量
a =
1 2 3
>> a=[1; 2; 3] %列向量
a =
1
2
3
1.2等间隔行向量的创建：
行向量在绘制图像，表达式运算等方面起着重要作用
1）冒号表达式
格式1 x1：dx：x2
格式2 x1：x2
说明：
初值 x1、增量 dx 和 终值 x2 分别表示开始值、步长和结束值。
增量可为负值， 省略时则默认增量为1；
当增量省略或 增量＞0 而 初值＞终值 时为空向量
当增量＜0 而 初值＜终值 时也为空向量。
2） 使用linspace生成等间隔行向量
linspace函数的格式： linspace(a,b,n)
说明：linspace函数的功能为生成从 a 到 b 之间等间隔的 n 个元素
的行向量(n的默认中为100)
两种创建方式的使用视情况而定，若需要控制向量的个数，则使用linspace函数较为方便，若需要控制一段范围的步长，则使用冒号表达式更快捷
两种创建方式如下：
t1=0:0.1:pi;
t2=linspace(0,2*pi,5);
1.3利用Matlab内部函数产生特殊矩阵
在MATLAB的elmat函数库中存在一些创建特殊矩阵的函数
| 函数名称 | 函数功能 |
|---|---|
| zeros | 创建零矩阵 |
| ones | 创建全一矩阵 |
| eye | 创建单位矩阵 |
| rand | 产生[0, 1]之间均匀分布的随机数 |
| randn | 产生服从标准正态分布的随机数（均值为零，标准差为1） |
函数的调用格式与用法如下：
| zeros(n) | 产生n×n零矩阵 |
| zeros(m,n) | 产生m×n零矩阵 |
| zeros(size(A)) | 产生与矩阵A同样大小的零矩阵 |
| t = rand | 产生一个[0, 1]之间均匀分布的随机数 |
| t = rand(3) | 产生元素在[0, 1]之间均匀分布的3x3的随机数矩阵 |
| t=rand(3,4) | 产生3x4的[0, 1]之间均匀分布的随机数矩阵 |
| t=10*rand(3,4)-5 | 产生[-5,5]之间均匀分布的3x4的随机矩阵 |
| t=randn(3,4)*sqrt(5)+3 | 产生3x4阶均值为3,方差为5的正态分布的随机矩阵 |
二、矩阵的基本操作
1.矩阵元素的访问
1）向量元素的访问：
设 v 是向量，则 v(i) 表示向量 v 的第 i 个元素。
注意：Matlab中数组下标从1开始。
2）矩阵元素访问——全下标方式
A(i,j) 表示矩阵A中位于第 i 行、第 j 列的元素
例如：
A=[1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]中
A( 1, 2 ) 即为 2
3）单下标方式
也可以根据矩阵元素在内存中的存储次序（序号）来引用矩阵元素
注意：在Matlab中矩阵的书写按行的顺序书写，但在内存中，按照列的顺序存储!
4）逻辑下标方式（见取子数组）
2.取子数组
同矩阵访问元素类似，在矩阵中取出子数组操作大致相同1）全下标方式
格式：A(Rows, Cols)
得到的是一个子矩阵，其中，
Rows是由（要取的行的）行下标组成的向量（如果只取1行，则Rows 是标量）
Cols是由（要取的列的）列下标组成的向量（如果只取1列，则Cols 是标量）
“ ：”出现在行下标的位置表示所有行，
“ ：”出现在列下标的位置表示所有列，
end出现在行下标的位置表示最大的行下标，
end出现在列下标的位置表示最大的列下标
例如：
>>A=[1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12];
A(1,:) %表示提取A的第1 行
A(:,end) %表示提取A的最后1 列
A([3 1], :) %表示提取A的第3行和第1行（行的顺序和A([1 3],:)不同
2)单下标方式：
通俗的来讲呢，就是将多个元素按照向量的形式取出
格式：A(S), 得到的是由A中（部分或所有）元素组成的向量
其中，S是由这些元素的单下标组成的向量
例如：
>>A=[1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12];
>>A(1:6)
ans =
1 5 9 2 6 10
3）逻辑表达式
1.利用find函数
基本格式：indexes=find(X)
功能：返回数组X中非零元素的序号（单下标），如无非零元素，则返回空数组
格式：[I, J]=find(X), X是矩阵
功能：返回矩阵X中非零元素的行号和列号。
格式：[I, J, V]=find(X), X是矩阵
功能：返回矩阵X中非零元素的行号、列号及值
2.逻辑数组作为下标
关系表达式及逻辑表达式 的运算结果为逻辑数组，还可以用logical函数将数值数组转换为逻辑数组
格式：logical(X)
功能：将数值数组X转换为逻辑数组
这种取数组的方式通常用于筛选出数组中的特殊元素
例如：
已知A=[4,-5,0,0,4; -5,0,7,-6,0]，找出A的元素中的正偶数，统计个数、并求和。
方法一：使用find（）函数
A=[4,-5,0,0,4; -5,0,7,-6,0]
xp=find(A>0 & rem(A,2)==0) %A中正偶数的序号
yp=A(xp) %A中的正偶数
N=length(xp) % A中正偶数的个数
sum(yp) %A中正偶数之和
方法二：利用逻辑数组下标
A=[4,-5,0,0,4; -5,0,7,-6,0]
Lp = A>0 & rem(A,2)==0
yp=A(Lp) %A中的正偶数，也可直接写成yp=A(A>0 & rem(A,2)==0)
N=length(yp)
sum(yp)
3.矩阵元素赋值
学会子数组及矩阵元素的访问后，矩阵赋值则变得十分简单
1）全下标方式
格式：A(Rows, Cols)=B
功能：给矩阵A的部分元素赋
其中， Rows和Cols 均为标量或向量，分别指定待赋值元素所在的行和列。
当B为标量时，表示将A的指定元素均赋值为B;
当B不为标量时，要求矩阵B的行、列数必须和左边子矩阵的行、列数完全一致
需要特别注意的是 A = B 则意味着赋值后的 A 变为一个标量
2）单下标方式：
格式：A(Indexes) = B
功能：给矩阵A的部分元素赋值
其中，Indexes为标量或向量（用于指定待赋值元素的序号）
注意：当A为矩阵时，其单下标（序号）不能越界
当B为标量时，表示将A的指定元素均赋值为B;
当B不为标量时，要求B的元素个数必须等于A的待赋值的元素个数（但行列数可以不相等）
4.矩阵的拼接与扩展
矩阵拼接：
将几个矩阵放在[ ]内，
水平连接用空格或逗号隔开，
[A B] 或 [A , B] 也可以写成 horzcat(A,B)
垂直连接用分号或回车键隔开，
[A ; B] 也可以写成 vertcat(A,B)
矩阵扩展：
函数repmat
格式：repmat(A, row,col) 或repmat(A, [row,col])
功能：将矩阵A沿行和列的方向分别重复row和 col次
例如： repmat(A , 2 , 3) 和 [A A A ; A A A]相同
5.矩阵元素的删除
删除矩阵元素很简单，只有通过赋值为空（[]），就可以实现删除若干行元素、若干列元素和整个数组
三、矩阵的算术运算
Matlab中的运算符及特殊符号的用法可以使用 help ops 命令查看
1.基本矩阵运算
| 加 | C=A+B | C=plus(A,B) |
|---|---|---|
| 减 | C=A-B | C=minus(A,B) |
| 累加 | C=+A | C=uplus(A) |
| 累减 | C=-A | C=uminus(A) |
| 乘积 | C=A*B | C=mtimes(A,B) |
| 乘方 | A^k | mpower(A,k) |
| 左除 | A\B = inv(A)*B | mldivide(A,B) |
| 右除 | A/B = A*inv(B) | mrdivide(A,B) |
| 共轭转置 | A’ | ctranspose(A) |
| 非共轭转置 | A.’ | transpose(A) |
上诉计算式，当 A为标量时，该标量与矩阵每一个元素进行运算，否则，服从线性代数运算法则
需要特别注意的是左除操作
x=A \ b 为线性方程组 A*x = b 的解
即：若要求解线性方程组
只需以下代码即可实现：
A=[2 2 -1 1;4 3 -1 2;8 3 -3 4;3 3 -2 -2];
b=[4 6 12 6]';
x=A\b %等价于 x=inv(A)*b
2.向量（数组）运算
在运算符 * \ / ^ 前面加.号表示数组运算（或称为点运算）
| A.*B | times(A,B) |
| C=A.\B | C=ldivide(A,B) ，执行后C(i,j) = B (i,j) \ A(i,j) |
| C=A./B | C=rdivide(A,B) ，执行后C(i,j) = B (i,j) / A(i,j) |
| A.^B | power(A,B) |
四、矩阵的关系逻辑运算
1.关系运算符
MATLAB 中关系运算符有六种：
==(eq)、～= (ne) 、 < (lt)、<= (le)、> (gt)、>= (ge)
关系运算法则：
1）当两个比较量是标量时，直接比较两数的大小。若关系成立，关系表达式结果为1，否则为0。
2）当参与比较的量是两个同型的矩阵时，比较是对两矩阵相同位置的元素按标量关系运算规则逐个进行，并给出元素比较结果。最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由0或1组成。
3）当参与比较的一个是标量，而另一个是矩阵时，则把标量与矩阵的每一个元素按标量关系运算规则逐个比较，并给出元素比较结果。最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由0或1组成。
2.逻辑运算符
| a&b | 当 a和b都非零时，运算结果为1；只要a和b中有一个为零，则结果为0. |
| a|b | 只要a和b中有一个非零，则结果为1 (只有当a和b 都为零时，运算结果为0，否则为1） |
| ~a | 当a是零时，运算结果为1；当a非零时，运算结果为0 |
| xor(a,b) | 当a和b中恰好一个为0，另一个不为0时运算结果为1，否则为0 |
| a && b (先决与) | 当a为0时，则结果为0，而不去计算&&右边表达式的值（只有当该逻辑运算符的左边非零时，才继续执行该符号右边的运算）。 |
| a || b (先决或) | 当a为1时，则结果为1，而不去计算 |
(1)若参与逻辑运算的是两个同型矩阵，则对两个矩阵相同位置的元素逐对按标量规则进行逻辑运算。 最终运算结果是一个与原矩阵同型的逻辑矩阵。
(2)若参与逻辑运算的一个是标量，一个是矩阵，则分别用矩阵的每个元素和标量进行逻辑运算。最终运算结果是一个与原矩阵同型的逻辑矩阵。
(3) 逻辑非是一个单目运算。若A是一个数组，~A 对矩阵A的每个元素进行逻辑非运算，得到的结果是一个与A同型的逻辑矩阵。
五、矩阵相关函数
矩阵分析
| 函数 | 功能 |
|---|---|
| inv(A) | 方阵A的逆 |
| pinv(A) | 矩阵A 的广义逆（或称为伪逆） |
| det(A) | 方阵A的行列式. |
| rank(A) | 矩阵的秩 |
| trace(A) | 矩阵A的迹 (即主对角线元素之和 ). |
| poly (A) | 当A是方阵时，求矩阵A的特征多项式 |
| fliplr | 用于将矩阵各列左右颠倒， |
| flipud | 将矩阵各行上下颠倒， |
| rot90 | 将矩阵元素绕矩阵的中心逆时针旋转90度 |
| flipdim(A,dim) | 功能：将A关于第d维翻转得到B。dim=1, 对行下标进行反转； dim=2, 对列下标进行反转 |
| any(x) | 功能：1）若x是一个向量，如果x中存在非零元素，则返回1；否则，返回0。2）若x为矩阵，则分别对矩阵的每一列进行判断，最后返回一个由元素0和1组成的行向量。 |
| all(x) | 功能：（1）若x是一个向量，如果x中所有元素都非0，则返回1；否则，返回0 （2）若x为矩阵，则分别对矩阵的每一列进行判断，最后返回一个由元素0和1组成的行向量。 |
| isempty(A) | 判断A是否为空矩阵，如果是返回1,否则返回0. |
| isnan(A) | 对于A的每个元素分别判断是否为NaN |
| isinf(A) | 对于A的每个元素分别判断是否为无穷大(inf或者-inf) |
| isfinite(A) | 对于A的每个元素分别判断是否为有限的值 |
| isa(x, ‘ClassName’) | 判断x是否为’ClassName’类型的数据（常量或变量），例如：isa(x,’double’)判断x是否为双精度型的变量，isnumeric(A) 判断A是否为数值型，islogical(A) 判断A是否为逻辑型，类似的还有：isfloat(A), isinteger(A),isreal(A) ,ischar(A), iscell(A), isstruct(A)等 |
| isscalar(A) | 判断A是否为标量 |
| isvector(A) | 判断A是否为向量 |
| isrow(A) | 判断A是否为行向量 |
| iscolumn(A) | 判断A是否为列向量 |
| isequal(A,B) | 如果A和B是同型的，并且数组的元素也相同，则返回1，否则返回0 |
| exist | 判断是否存在指定的变量或者文件 |
矩阵运算
| 函数 | 功能 |
|---|---|
| expm | 矩阵指数运算 |
| logm | 矩阵指数运算 |
| sqrtm | 矩阵开方运算 |
| funm | 调用函数，例如：funm(A,’exp’)或funm(A, @exp)等价于expm(A) ；funm(A,’log’) 等价于 logm(A) ； funm(A,’sqrt’) 等价于sqrtm(A) |
线性代数
| 函数 | 功能 |
|---|---|
| Z=null(A) | Z的各列为矩阵A零空间的一组标准正交基，即：A*Z=0, Z’*Z=I 且size(Z,2)=dim(null(A)),可用于求Ax=0的基础解系 |
| B=orth(A) | 得到range(A)的一组标准正交基，即B’*B=I, 并且B和A张成相同的线性空间 |
| rref(A) | 利用高斯消元法产生矩阵A的行阶梯形矩阵（即矩阵非零行的第1个非零元素为1，且该非零元素所在列的其它元素均为零，可用于求Ax=b的解或通解） |
| subspace(A,B) | 用于求两个子空间之间的夹角 |
矩阵的范数与条件数
| 函数 | 功能 |
|---|---|
| norm | - 求矩阵或向量的范数 |
| normest | - 估计矩阵的2范数. |
| normest1 | - 估计矩阵的1范数. |
| cond | - 求矩阵的条件数 |
| rcond | - 估计1范数下的条件数的倒数 |
| condest | - 估计1范数下的条件数 |
| condeig | - 计算矩阵特征值的条件数 |
矩阵分解
| 函数 | 功能 |
|---|---|
| chol | - Cholesky分解. |
| cholinc | - 不完全Cholesky分解. |
| ldl | - 块LDL’分解. |
| lu | - LU 分解. |
| luinc | - 不完全LU 分解. |
| qr | - QR分解 |
特征值与奇异值分解
| 函数 | 功能 |
|---|---|
| eig | - 特征值分解，计算特征值问题及广义特征值问题. |
| svd | - 奇异值分解 |
| gsvd | - 广义奇异值分解 |
| eigs | - 计算最大（或最小）的k个特征值及对应的特征向量（也可用于求广义特征值问题）. |
| svds | - 计算最大（或最小）的k个奇异值 |
总结
MATLAB 是一个功能强大软件，对矩阵的操作对于学习这门语言来讲更是十分重要，花了一天时间去整理相关的内容写下这篇博客，总的来说是比较枯燥繁琐的，但是写完又会感到一种成就感，对知识的掌握也更加熟练，希望之后的学习之路更加顺利吧。