MATLAB矩阵运算

矩阵定义

MATLAB以矩阵作为数据操作的基本单位，这使得矩阵运算变得非常简捷、方便、高效。矩阵是由m×n个数av (i=1,2,…,m; j = 1,2,…,n）排成的m行n列数表，记成：

     

若m=n，则该矩阵为n阶矩阵(n阶方阵）。

矩阵创建

在键盘上直接按行方式输入矩阵是最方便、最常用的创建数值矩阵的方法，尤其适合较小的简单矩阵。在用此方法创建矩阵时，应当注意以下几点：

• 输入矩阵时要以“[ ]”为其标识符号，矩阵的所有元素必须都在括号内。
• 矩阵同行元素之间由空格（个数不限）或逗号分隔，行与行之间用分号或回车键分隔。矩阵大小不需要预先定义。
• 矩阵元素可以是运算表达式。
• 若“[ ]”中无元素，表示空矩阵。
• 如果不想显示中间结果，可以用“;”结束。

矩阵生成

矩阵的生成除了直接输入法，还可以利用M文件生成法和文本文件生成法等。

1．利用M文件创建

       当矩阵的规模比较大时，直接输入法就显得笨拙，出差错也不易修改。为了解决这些问题，可以将所要输入的矩阵按格式先写入一文本文件中，并将此文件以m为其扩展名，即M文件。
       M文件是一种可以在 MATLAB环境下运行的文本文件，它可以分为命令式文件和函数式文件两种。在此处主要用到的是命令式M文件，用它的简单形式来创建大型矩阵。在MATLAB命令行窗口中输入M文件名，所要输入的大型矩阵即可被输入到内存中。
       M文件中的变量名与文件名不能相同，否则会造成变量名和函数名的混乱。运行M文件时，需要先将M文件sample.m复制到当前目录文件夹下,否则运行时无法调用。

2．利用文本创建
        MATLAB中的矩阵还可以由文本文件创建，即在文件夹（通常为work文件夹）中建立txt 文件，在命令行窗口中直接调用此文件名即可。

         用户可以直接用函数来生成某些特定的矩阵，常用的函数如下：

• eye(n)：创建n×n单位矩阵。
• eye(m,n)：创建m×n的单位矩阵。
• eye(size(A))：创建与A维数相同的单位矩阵。
• ones(n)：创建n×n全1矩阵。
• ones(m,n)：创建m×n全1矩阵。
• ones(size(A))：创建与A维数相同的全1阵。
• zeros(m,n)：创建m×n全0矩阵。
• zeros(size(A))：创建与A维数相同的全0阵。
• rand(n)：在[0,1]区间内创建一个n×n均匀分布的随机矩阵。
• rand(m,n)：在[0,1]区间内创建一个m×n均匀分布的随机矩阵。
• rand(size(A))：在[0,1]区间内创建一个与A维数相同的均匀分布的随机矩阵。
• compan(P)：创建系数向量是P的多项式的伴随矩阵。
• diag(v)：创建一向量v中的元素为对角的对角阵。
• hilb(n)：创建n×n的Hilbert矩阵。
• magic(n)：生成n阶魔方矩阵。
• sparse(A)：将矩阵A转化为稀疏矩阵形式，即由A的非零元素和下标构成稀疏矩阵S。若A本身为稀疏矩阵，则返回A本身。

 MATLAB矩阵运算

1.矩阵元素的修改

 矩阵建立起来之后，还需要对其元素进行修改。下表列出了常用的矩阵元素修改命令：

2.矩阵的变维

矩阵的变维可以用符号“：”法和reshape函数法。reshape函数的调用形式如下：

reshape(X,m,n)

将已知的矩阵变为m行n列的矩阵。

3.矩阵的变向

Rot(90)：将A逆时针旋转90度

Rot(90,k)：将A逆时针旋转90度*k，k可为正整数或负整数

Fliplr(X)：将X左右翻转

flipud(X)：将X上下翻转

flipdim(X,dim)q：dim=1时对行翻转，dim=2对列翻转

4.矩阵的抽取

对矩阵元素的抽取主要是指对角元素和上(下)三角阵的抽取。

5.矩阵的加法运算

6.矩阵的乘法运算 

 7.矩阵的点乘运算

 点乘运算指将两矩阵中相同位置的元素进行相乘运算，将积保存在原位置组成新矩阵。

8.矩阵的左除运算

线性方程组D*X=B，如果D非奇异，即它的逆矩阵inv(D)存在，则其解用MATLAB表示为：

X=inv(D)*B=D\B

符号“\”称为左除，即分母放在左边。

左除的条件：B的行数等于D的阶数(D的行数和列数相同，简称阶数)。

9.矩阵的右除运算

线性方程组D*X=B,如果D非奇异，即它的逆矩阵inv(D)存在，则其解用MATLAB表示为：

X=B*inv(D)=B/D

符号“/”称为右除，即分母放在右边。

右除的条件：B的列数等于D的阶数(D的行数和列数相同，简称阶数)。

10.矩阵的幂运算

11.矩阵的逆

 

    

12.范数

13.奇异值分解

奇异值分解（SVD)是现代数值分析（尤其是数值计算）的最基本和最重要的工具之一，因此在实际工程中有着广泛的应用。

所谓的SVD分解指的是将mxn矩阵A表示为3个矩阵乘积形式: USV^T，其中U为mxm酉矩阵，V为n×n酉矩阵，S为对角矩阵，其对角线元素为矩阵A奇异值且满足S1>=S2>=..>=Sr>Sr+1=..=Sn，r为矩阵A的秩。在 MATLAB中，这种分解是通过SVD命令来实现的。

SVD的命令调用格式：