F - Fireworks（三分+概率）

题目：F - Fireworks（三分+概率）

来自：2020-2021 ICPC区域赛南京站F题

牛客竞赛_ACM/NOI/CSP/CCPC/ICPC算法编程高难度练习赛_牛客竞赛OJ (nowcoder.com)

题意：

一个人造烟花，制作一个烟花需要n的时间，燃放烟花的时间是m（燃放一个烟花是m，燃放多个烟花也是m），但是由于此人手艺不精，烟花完美的概率是p。注意：烟花只有放了才知道是不是完美的。如果所有燃放的烟花中至少有一个是完美的，则结束。问实现该情况的最小期望

思路：

1. 期望 = 一种情况的权值 * 其概率 + 另一种情况的权值 * 其概率 + …

2. 假设一个Ex，表示多次造k个烟花后燃放，出现至少一个完美烟花的概率最大的最小期望，简称最优

3. 形象的讲（不保证正确，但是好理解）：每次都造k个后燃放出现完美烟花的概率是最大的，所以每次我们都只造k个烟花后燃放

4. 所以：
   $$E(x)=(k\times n+m)\times (1-(1-p{)}^k)+(k\times n+m)\times (1-p{)}^k+E(x)\times (1-p{)}^k$$
   分三块去理解：
   $$\begin{array}{rl}& 1.(k\times n+m)\times (1-(1-p{)}^k)表示当前次制作k个烟花后燃放至少出现一次完美烟花的概率\ast 消耗的时间\\ & 2.(k\times n+m)\times (1-p{)}^k表示当前次制作k个烟花后燃放一次完美烟花都没有的概率\ast 单次消耗的时间\\ & 3.E(x)\times (1-p{)}^k表示之前所有次都失败的概率\ast 之前用的所有时间\end{array}$$
   化简公式后发现：

$$E(x)=\frac{k\times n+m}{1-(1-p{)}^k}$$

打表或求导可以看出该函数是个具有波谷的函数，用三分找到k次就可求出E(x)

代码：

#include
#include
#define HighPrecisionPrint(n) printf("%.11f\n", (n)) // 答案误差在10^-11次方内的打印
#define UNIQUE(arr) (arr).erase(unique((arr).begin(),(arr).end()),(arr).end())  //将重复的区域删除
#define IOS ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0)
#define all(arr) (arr).begin(), (arr).end()
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-7; 
int t;
double m,n,p;

/*
 * 题意：一个人造烟花，制作一个烟花需要n的时间，
 * 燃放烟花的时间是m（燃放一个烟花是m，燃放多个烟花也是m），但是由于此人手艺不精，烟花完美的概率是p。
 * 注意：烟花只有放了才知道是不是完美的。
 * 如果所有燃放的烟花中至少有一个是完美的，则结束。
 * 问实现该情况的最小期望
*/
double Ex(int k)
{
    double ex = (n*k+m) / (1-pow(1-p,k));
    return ex;
}
void solve()
{
    cin>>n>>m>>p;
    p = p/1e4;
    double l = 1, r = 1000000000;
    while(r-l > eps)
    {
        double mid1 = l + (r-l) / 3;
        double mid2 = r - (r-l) / 3;
        if(Ex(mid1) > Ex(mid2)) l = mid1;
        else r = mid2;
    }
    // 保障计算，如果最后l和r是左右两个点，并没有在波谷汇合，所以要手动枚举（while的情况不需要）
    // for(int i = l+1; i <= r; ++i)
    //     ans = min(ans,Ex(i));
    HighPrecisionPrint(Ex(r));
}
int main()
{

    cin >> t;
    while (t--)
    {
       solve();
    }
    return 0;
}

特别鸣谢：队友Gary解释思路，以及xjsc01提供的题解思路