文献阅读 | GAM：基于ligation-free方法捕获基因组中增强子间的复杂互作 (Part III：SLICE model）

文章梳理：文献阅读 | GAM：基于ligation-free方法捕获基因组中增强子间的复杂互作 (Part I：文章梳理）

原文链接：
Beagrie RA, Scialdone A, Schueler M, et al. Complex multi-enhancer contacts captured by genome architecture mapping. Nature. 2017 Mar 23;543(7646):519-524. doi: 10.1038/nature21411. Epub 2017 Mar 8. PMID: 28273065; PMCID: PMC5366070.
https://www.nature.com/articles/nature21411

概述

GAM 的直接测量量的是基因组上任意两个位点出现在同一切片（co-segregation）的频率。
作者指出，GAM数据与Hi-C等数据不同的地方在于，GAM数据本身就同时包含了“信号”和“背景”。即GAM不仅测量interacting locus pair 的 co-segragation频率，同时也测量了 non-interacting locus pair的频率。因此，可以通过单纯的统计学检验从随机背景中识别出significant interactions。为此，作者开发了SLICE模型，目的是给出当基因组上有两个位点以（正文中的）的频率互作时，在同一个切片中能同是观察到两位点的概率所服从的分布以及期望。

模型推导

假设共有个细胞核，每个细胞在被激光随机切割，产生一个厚度为切片，测序后得到对应的一个 nuclear profile（）。
（作者在之后的模型中使用切片厚度 , 总细胞核数）

Part I：单位点模型

Figure S1.2 (a)

定义

考虑基因组的任意一个位点
假设在一个切片中

包含（或 )的概率为====
不包含（或 )的概率为====

显然有，

注意：在切片中包含不代表的在最终的中能检测到A，因为还有DNA检出效率的问题。这部分作者会在之后考虑。

推导

如果该位点在细胞核中的位置是随机分布的。
当假设位点是一个没有体积的质点时，在切片中的概率为

其中

是细胞核的平均体积，假设所有检测的细胞核都是一个半径为的球体，则
其中是切片的平均体积，可首先计算出切片距离细胞核中心为时的切片体积，然后沿进行平均。

综上可解得

但事实上，一定长度的DNA在空间中占有一定体积。
假设长度为的一段DNA在空间中的占位是一个半径为的球。则当时，可以使用替代原公式中的
以上的改写为

Figure S1.8

最终得到

Part II：两位点模型

定义：

设两位点间互作的概率为

当在某个细胞中发生互作时，取来自该细胞的切片，设该切片中
- 同时包含的概率为
- 仅包含（或）的概率为
- 既不包含也不包含的概率为
当在某个细胞中未发生互作时，取来自该细胞的切片，设该切片中
- 同时包含的概率为
- 仅包含（或）的概率为
- 既不包含也不包含的概率为

显然有

推导：

根据全概率公式，在任意一个切片中，

同时包含的概率
仅包含（或 )的概率
既不包含也不包含的概率为

容易推得

Part III：模型修正（I），二倍体生物情况

设个细胞核的切片中，包含个，个的细胞核个数为：。

对于二倍体生物，能检测到的参考基因组上的位点实际上对应同源染色体上的一对等位位点，检测的对应同源染色体上的一对等位位点，因此，即
$\begin{matrix} \hline & A_1 & B_1 & A_2 & B_2 \\ N_{0,0} & - & - & - & - \\ \hline N_{1,0} & + & - & - & - \\ & - & - & + & - \\ \hline N_{0,1} & - & + & - & - \\ & - & - & - & + \\ \hline N_{1,1} & + & + & - & - \\ & + & - & - & + \\ & - & + & + & - \\ & - & - & + & + \\ \hline N_{2,0} & + & - & + & - \\ \hline N_{2,1} & + & + & + & - \\ & + & - & + & + \\ \hline N_{2,2} & + & + & + & + \\ \hline N_{0,2} & - & + & - & + \\ \hline N_{1,2} & + & + & - & + \\ & - & + & + & + \\ \hline \end{matrix}$

假设：

与同一染色体的两位点互作的概率相比，位于不同染色体上的位点间的互作概率可以忽略不计。即考虑发生在和的间的互作

发生在的互作与发生在间的互作是相互独立的

综上可推出

$\left\{\begin{align} \frac{N_{0,0}}{N} &= c_0^2 \\ \frac{N_{0,1}}{N} &= \frac{N_{1,0}}{N} = 2c_0c_1 = 2c_0(v_0-c_0) \\ \frac{N_{1,1}}{N} &= 2c_1^2 + 2c_0c_2 = 2[(v_0-c_0)^2+c_0(1-2v_0+c_0)] \\ \frac{N_{0,2}}{N} &= \frac{N_{2,0}}{N} = c_1^2 = (v_0-c_0)^2 \\ \frac{N_{1,2}}{N} &= \frac{N_{2,1}}{N} = 2c_1c_2 = 2(v_0-c_0)(1-2v_0+c_0) \\ \frac{N_{2,2}}{N} &= c_2^2 = (1-2v_0+c_0)^2 \\ \end{align}\right.$

Part IV：修正（II）检出效率

在实际的实验中，并不是一个切片中的所有DNA都能被检出（都能出现在中）
假设检出效率为，此时在一个中检测到个, 个的概率为
则
$\begin{split} N^{\epsilon}_{2,2} &= \epsilon^4 N_{2,2} \\ N^{\epsilon}_{2,1} &= \epsilon^3N_{2,1} + 2\epsilon^3 (1-\epsilon) N_{2,2} \\ N^{\epsilon}_{1,1} &= \epsilon^2N_{1,1} + 2\epsilon^2(1-\epsilon)(N_{1,2} + N_{2,1})+ 4\epsilon^2(1-\epsilon)^2N_{2,2}\\ N^{\epsilon}_{1,0} &= \epsilon N_{1,0}+ \epsilon(1-\epsilon)N_{1,1} + 2\epsilon(1-\epsilon)^2N_{2,1} + \epsilon(1-\epsilon)^2N_{1,2}+ 2\epsilon(1-\epsilon)^3N_{2,2}\\ N^{\epsilon}_{0,0} &= N_{0,0}+ (1-\epsilon)(N_{1,0} + N_{0,1}) + (1-\epsilon)^2N_{1,1} + (1-\epsilon)^3(N_{2,1} + N_{1,2})+ (1-\epsilon)^4N_{2,2} \end{split}$
以上可简写为

其中是Kronecker indicator-function，即时，否则

Part V 最终模型

记在中同时检测到，仅检测到（或），没有检测到的概率依次为：

则

$\begin{split} \frac{m_0}{m} &= \frac{N^{\epsilon}_{0,0}}{N} \\ \frac{m_1}{m} &= \frac{ 2(N^{\epsilon}_{1,0} + N^{\epsilon}_{2,0}) }{N} \\ \frac{m_2}{m} &= 1 - \frac{N^{\epsilon}_{0,0}}{N} - \frac{ 2(N^{\epsilon}_{1,0} + N^{\epsilon}_{2,0}) }{N} \end{split}$

consegregation ratio

参数估计

Detection rate

从数据中计算得到，根据计算公式，反解得到

Figure S1.9

interacting pairs co-segregation

认为当两位点互作时的间距时，

non-interacting pairs co-segeregation

将所有locus pair按所在染色体及在染色体上的距离进行分组

将代入公式计算得到co-segregation ratio的期望值，并与每组的检测值进行拟合

解得位于第条染色体上距离为的locus pair所对应的

interaction probability

当均为已知时，是关于的函数

截屏2021-08-18 上午11.24.34.png