1.1、方程组的几何解释

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绪论

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为了复习线性代数，顺便练习markdown写作，我准备用寒假无聊时间整理了线性代数笔记，仅供参考。

• 写作平台：
• 参考课程：麻省理工18.06课程：线性代数

方程组的几何解释

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一、概述

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本讲将讨论线性代数基础：* 求解线性方程组。
首先从方程组开始讲起，它有n个未知数、n个方程，方程数与未知数个数相等，这是最好的情况。然后举例描述“行图像”（row picture），一个“行图像”表示一个方程。接着引出“列图像”（column picture）加以描述，“列图像”是本节重点。行和列组成矩阵（matrix），最后*，我们引入矩阵形式来审视问题。

要点：

• n个未知数，n个方程
• 行图像
• 列图像
• 矩阵形式

二、举例1

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举例，两个方程、两个未知数。
以
为例。

· 行图像

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一次取一行，作图于xy平面。

row picture

· 矩阵形式

即

· 列图像

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方程（1）可改写为：

现在该方程的目标是如何将向量与向量正确组合，得到向量，这就需要找到这两个列向量正确的“线性组合”。线性组合（linear combination）是贯穿整个课程的基本操作，这里是列向量的线性组合（linear combination of columns）。

（1）

当时，即
列图像如下图所示。

column picture

（2）

现在我们思考一个问题，这两个列向量所有的线性组合是什么？
选取所有的x，所有的y，所有的线性组合，结果会怎样？
结果是会得到任意的右侧向量，两个列向量的组合会布满整个平面。

三、举例2

举例，三个方程、三个未知数。
以

为例。

· 行图像

一次取一行，作图于xyz三维空间。每一行的图像为一个平面，三个平面相交于一点，这一点就是方程的解。

row picture

· 矩阵形式

即

· 列图像

方程（2）可改写为

（1）

方程（1）的解为，列图像如下图所示。

column picture

（2）

现在考虑一个问题，不管右侧向量b是多少，是否都能求解方程？即对于任意b，是否都能求解Ax=b？，是否对于任意b都有相应的解？
用线性组合的术语来说，列向量的线性组合是否能覆盖整个三维空间？
对于这个A来说，答案是肯定的。但另一些矩阵，答案可能是否定的。什么时候会这样呢？（列向量的线性组合无法得到b）。比如，当三个列向量位于同一平面时，其线性组合必定在这个平面上，此时当b在这个平面时方程有解，但更多情况下，b不在这个平面上，方程无解，这种情况称为奇异（sigular），矩阵并非可逆，不是所有的b都有解。

四、矩阵

如：
等于系数矩阵A的列向量的线性组合。