第二类曲线积分@对坐标的曲线积分

abstract

• 第二类曲线积分,即对坐标的曲线积分

对坐标的曲线积分

变力沿曲线所做的功

• 力是矢量,具有方向属性,从便利沿曲线做功的问题抽象出第二类曲线积分的定义

• 变力的表示:这里用向量的坐标分解式表示力

• 设一个质点在$xOy$面内受到力$\mathbf{F}(x,y)$=$P(x,y)\mathbf{i}+Q(x,y)\mathbf{j}$(0)的作用,从点$A$沿光滑曲线弧$L$移动到点$B$,其中函数$P(x,y)$和$Q(x,y)$在$L$上连续

  • 质点$M$从位置点$A\to B$的过程中位置坐标记$(x,y)$,每个位置对应的力为$\mathbf{F}(x,y)$,这就是函数$\mathbf{F}(x,y)$和曲线弧$L$的关系;这里假设曲线弧$L$时光滑的
  • 而函数$\mathbf{F}$在曲线弧$L$上连续保证了$L$上的任意位置$(x,y)$都有连续(不会出现无定义的情况或突变)

• 现在问题是计算上述移动过程中$F(x,y)$所做的功

平均功(恒力做功)

• 一种最简单的情形是$\mathbf{F}$为恒力,且质点从$A$沿直线移动到$B$,那么恒力$F$所做的功$W$为向量$\mathbf{F}$与向量$AB$的数量积,即$\mathbf{W}=\mathbf{F}\cdot AB$(1)
• 恒力:可以令式(0)中的$x,y$取得一组确定得值$({\xi }_i,{\eta }_i)$,即$\mathbf{F}({\xi }_i,{\eta }_i)$

变力做工

• 现在$F(x,y)$是变力,且质点沿的是曲线移动,功显然无法直接按照式(1)计算
• 这里可以采用微积分的方法来合理的应用公式(1)于更一般的情形

弧段微分

• 先用曲线弧上的点$M_1(x_1,y_1)$,$M_2(x_2,y_2)$,$\cdots$,$M_{n-1}(x_{n-1},y_{n-1})$(2)把$L$分成$n$个小弧段

• 取其中一个有向小弧段$a(M_{i-1}{M}_i)$做分析

  • 由于$a(M_{i-1}{M}_i)$光滑且很短,可以用有向线段$M_{i-1}{M}_i$=$(\Delta x_i)\mathbf{i}+(\Delta y_i)\mathbf{j}$(3)近似代替
  • 其中$\Delta x_i$=$x_i-x_{i-1}$,$\Delta y_i$=$y_i-y_{i-1}$(3-1)

• 由于$P(x,y)$,$Q(x,y)$在$L$上连续,可以用$a(M_{i-1}{M}_i)$上任意曲定的一点$({\xi }_i,{\eta }_i)$处的力$\mathbf{F}({\xi }_i,{\eta }_i)$=$P({\xi }_i,{\eta }_i)\mathbf{i}+Q({\xi }_i,{\eta }_i)\mathbf{j}$(4)来近似代替这小弧段上各点处的力

• 这样变力$\mathbf{F}(x,y)$沿着有向小弧段$a(M_{i-1}{M}_i)$所做的功$\Delta W_i$可以近似地等于恒力$\mathbf{F}({\xi }_i,{\eta }_i)$,沿着$M_{i-1},M_i$所作的功:

  • $\Delta W_i\approx \mathbf{F}({\xi }_i,{\eta }_i)\cdot M_{i-1}{M}_i$(5),即$\Delta W_i\approx P({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta x_i+Q({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta y_i$(5-1)

• 于是$W$=${\sum }_{i=1}^n\Delta W_i$ $\approx$ ${\sum }_{i=1}^n[P({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta x_i+Q({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta y_i]$(6)

• 若用$\lambda$表示$n$个小弧段的最大长度,令$\lambda \to 0$取式(6)的极限,所得极限自然地被认为式变力$\mathbf{F}$沿有向曲线段所做的功:

  • $W$=$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^n[P({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta x_i+Q({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta y_i]$(7)

• 这种和的极限在研究其他问题时也会遇到,将其抽象为第二类曲线积分

第二类曲线积分的定义

• 设$L$为$xOy$面内从点$A\to B$的一条有向光滑曲线弧;函数$P(x,y)$和$Q(x,y)$在$L$上有界

  • 和第一类曲线积分中曲线的无向性相比,第二类曲线积分的曲线$L$强调有向

• 在$L$上沿$L$的任意方向插入点列$M_1(x,y),\cdots ,M_{n-1}(x_{n-1},y_{n-1})$,把$L$分成了$n$个有向小弧段

  • $a(M_{i-1}{M}_i)$,$(i=1,2,\cdots ,n)$;$M_0=A,M_n=B$
  • 设$\Delta x_i$=$x_i-x_{i-1}$,$\Delta y_i$=$y_i-y_{i-1}$
  • 点$({\xi }_i,{\eta }_i)$为小弧段$a(M_{i-1}{M}_i)$上任意曲定的一点

• 作乘积$P({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta x_i$,$(i=1,2,\cdots ,n)$;(1)作和${\sum }_{i=1}^{n}P({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta x_i$,(2)

• 若当各个小弧段长度的最大值$\lambda \to 0$时,式(2)的极限总是存在,且于曲线弧$L$的分法和$({\xi }_i,{\eta }_i)$的取法无关,则称此极限为函数$P(x,y)$在有向曲线弧$L$上对坐标$x$的曲线积分,记为${\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x$

• 类似地,若${\sum }_{i=1}^{n}P({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta x_i$总是存在,且与曲线弧$L$的分法及点$({\xi }_i,{\eta }_i)$的取法无关,那么称此极限为函数$Q(x,y)$在有向曲线弧$L$上对坐标$y$的曲线积分,记为${\int }_{L}Q(x,y)\mathrm{d}y$

• 综上有公式组:

  • ${\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x$=$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}P({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta x_i$(3)
  • ${\int }_{L}Q(x,y)\mathrm{d}x$=$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}Q({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta y_i$(4)

• 两个积分称为第二类曲线积分

• 其中$P(x,y)$,$Q(x,y)$称为被积函数,$L$称为积分弧段

函数在曲线弧上连续

• 讨论第二类曲线积分时,总假定$P(x,y),Q(x,y)$在$L$上连续(第二类曲线积分总是存在)
• 函数$f(x,y)$在曲线$L$上连续,应当是$f(x,y)$在$D=\{(x,y)\mid (x,y)\in L\}$上处处连续
• 严格地说,向量值函数函数$\mathbf{F}(x,y)$在曲线$L$上连续是指:
  • 对$L$上任意点$M_0(x_0,y_0)$,当$L$上的动点$M(x,y)$沿$L$趋于$M_0$时,有$|\mathbf{F}(x,y)-\mathbf{F}(x_0,y_0)|\to 0$
  • 若$\mathbf{F}(x,y)$=$P(x,y)\mathbf{i}+Q(x,y)\mathbf{j}$,则$\mathbf{F}(x,y)$在$L$上连续等价于$P(x,y)$与$Q(x,y)$均在$L$上连续

推广:空间曲线弧的第二类曲线积分

• 上述第二类曲线积分是在平面上定义的,可以类似地推广到积分弧段为空间有向曲线弧$\Gamma$的情形:
  • ${\int }_{\Gamma }P(x,y,z)\mathrm{d}x$=$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}P({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta x_i$(5)
  • ${\int }_{\Gamma }Q(x,y,z)\mathrm{d}x$=$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}Q({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta y_i$(6)
  • ${\int }_{\Gamma }R(x,y,z)\mathrm{d}x$=$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}R({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta z_i$(7)

常用形式和简写

• 两个二类曲线积分的和的形式:${\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x$+${\int }_{L}Q(x,y)\mathrm{d}y$(8)可以简写为
  • ${\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$(9)
    • 取消掉第二个积分号,而用一个积分号对两个被积表达式做二类曲线积分
  • 或者写成向量形式:${\int }_L\mathbf{F}(x,y)\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$,(10)
    • 这里$\mathbf{F},\mathbf{r}$都是向量,$\cdot$表示向量内积,不省略
    • 其中$\mathbf{F}(x,y)$=$P(x,y)\mathbf{i}+Q(x,y)\mathbf{j}$(10-1)为向量值函数
    • $\mathrm{d}\mathbf{r}$=$\mathrm{d}x\mathbf{i}+\mathrm{d}y\mathbf{j}$(10-2)
• 类似地,${\int }_{\Gamma }P(x,y,z)\mathrm{d}x$+${\int }_{\Gamma }Q(x,y,z)\mathrm{d}y$+${\int }_{\Gamma }R(x,y,z)\mathrm{d}z$可以简写成
  • ${\int }_{\Gamma }P(x,y,z)\mathrm{d}x+Q(x,y,z)\mathrm{d}y+R(x,y,z)\mathrm{d}z$(11)
  • 或:${\int }_L\mathbf{A}(x,y,z)\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$,
    • 其中$\mathbf{A}(x,y,z)$=$P(x,y,z)\mathbf{i}$+$Q(x,y,z)\mathbf{j}$+$R(x,y,z)\mathbf{k}$;
    • $\mathrm{d}\mathbf{r}$=$\mathrm{d}x\mathbf{i}+\mathrm{d}y\mathbf{j}+\mathrm{d}z\mathbf{k}$

利用第二类曲线积分表示变力做功

• 讨论变力$\mathbf{F}$做功时,$\mathbf{F}$所做的功可以表示为式(8)或(9)或(10)

性质

• 线性性质:

  • 设$\alpha ,\beta$为常数,${\int }_L[\alpha F_1(x,y)+\beta F_2(x,y)]\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$=$\alpha {\int }_L{\mathbf{F}}_1(x,y)\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$+$\beta {\int }_L{\mathbf{F}}_2(x,y)\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$(1)

• 可加性:

  • 若有向曲线弧$L$可分成两段光滑的有向曲线弧$L_1,L_2$,则:${\int }_L\mathbf{F}(x,y)\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$=${\int }_{L_1}\mathbf{F}(x,y)\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$+${\int }_{L_2}\mathbf{F}(x,y)\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$(2)

• 反向弧性质:

  • 设$L$是有向光滑弧,$L^{-}$是$L$反向曲线弧:${\int }_{L^{-}}\mathbf{F}(x,y)\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$=$-{\int }_L\mathbf{F}(x,y)\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$(3)

  • 证明:把$L$分成$n$小段,相应的$L^{-}$也分成$n$小段,对于每个小段弧,当曲线的方向改变时,有向弧在坐标上的投影,其绝对值不变,但是要改变符号,就得到(3)

  • 此性质表明,当积分弧段的方向改变时,对坐标的曲线积分要改变符号,因此对坐标的曲线积分要区分积分弧段的方向

  • 本性质是对坐标曲线积分特有的性质,对弧长的曲线积分不具有这类性质)

  • 相应的,对弧长的曲线积分也有独占的性质(被积函数大小的性质 )

计算方法

• 第二类曲线积分仍然是转化为定积分计算

• 设$P(x,y),Q(x,y)$在有向曲线弧$L$上有定义且连续,$L$的参数方程为

  • $x=\varphi (t)$
  • $y=\psi (t)$

• 当参数$t$单调地从$\alpha \to \beta$时,点$M(x,y)$从$L$的起点$A$沿$L$运动到终点$B$,若$\varphi (t),\psi (t)$在以$\alpha ,\beta$为端点的闭区间上具有一阶连续导数,且${\varphi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)\ne 0$(0)

• 则曲线积分${\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$存在,且有公式${\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$=${\int }_{\alpha }^{\beta }[P(\varphi (t),\psi (t))]{\varphi }^{\prime }(t)+Q[\varphi (t),\psi (t)]{\psi }^{\prime }(t)]\mathrm{d}t$(1)

证明

• 推导过程应用微分中值定理和一致连续性,以及连续函数性质,连续函数积分存在

对坐标$x$

• 在$L$上取一列点:$A=M_0,M_1,\cdots ,M_n=B$
• 设它们对应于一列单调变化(递增或递减)的参数值$\alpha =t_0,t_1,\cdots ,t_n=\beta$(2)
• 根据对坐标的曲线积分的定义(对坐标$x$):${\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x$=$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}P({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta x_i$(3)
• 设点$({\xi }_i,{\eta }_i)$对应于参数${\tau }_i$,即${\xi }_i=\varphi ({\tau }_i)$,${\eta }_i=\psi ({\tau }_i)$(4)这里${\tau }_i$在$t_{i-1},t_i$之间
• 由于$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$=$\varphi (t_i)-\varphi (t_{i-1})$(5)应用微分中值定理,式,$\Delta x_i$=${\varphi }^{\prime }({\tau }_i^{\prime })\Delta t_i$,${\tau }_i^{\prime }$(5-1)介于$t_{i-1},t_i$之间
• 将(4),(5-1)代入(3),于是式(3)可改写为$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}P[\varphi ({\tau }_i),\psi ({\tau }_i)]{\varphi }^{\prime }({\tau }_i^{\prime })\Delta t_i$(6)
• 因为函数${\varphi }^{\prime }(t)$在区间$[\alpha ,\beta ]$或$[\beta ,\alpha ]$上连续,由一致连续性知识,可以把${\tau }_i^{\prime }$替换为${\tau }_i$,从而式(6)改写为$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}P[\varphi ({\tau }_i),\psi ({\tau }_i)]{\varphi }^{\prime }({\tau }_i)\Delta t_i$(7)
• 式(7)的和的极限就是定积分${\int }_{\alpha }^{\beta }P[\varphi (t),\psi (t)]{\varphi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$(8)
• 由连续条件和连续函数的性质,被积函数$P[\varphi (t),\psi (t)]{\varphi }^{\prime }(t)$连续,因此积分式(8)存在,所以${\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x$存在,且${\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x$=${\int }_{\alpha }^{\beta }P[\varphi (t),\psi (t)]{\varphi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$(9)

对坐标$y$

• 类似上述推导,可证${\int }_{L}Q(x,y)\mathrm{d}y$=${\int }_{\alpha }^{\beta }Q[\varphi (t),\psi (t)]{\psi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$(10)

相加

• 将式(9,10)相加:${\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$
  • =${\int }_{\alpha }^{\beta }P[\varphi (t),\psi (t)]{\varphi }^{\prime }(t)+Q[\varphi (t),\psi (t)]{\psi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$
  • =${\int }_{\alpha }^{\beta }P[\varphi (t),\psi (t)]{\varphi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$+${\int }_{\alpha }^{\beta }Q[\varphi (t),\psi (t)]{\psi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$,(11)
• 这就证明了公式(1)

积分限和曲线弧起止点

• 式(11)中,积分下限$\alpha$对应于$L$的起点,上限$\beta$对应于$L$的终点

公式的应用

• 公式(1)或(11)表明,计算曲线积分${\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$时,只需要将$x,y,\mathrm{d}x,\mathrm{d}y$依次替换为$\varphi (t),\psi (t),{\varphi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t,{\psi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$
• 在处理有向弧$L$对应的参数:
  • 从$L$的**起点所对应的参数值$\alpha$到$L$的终点所对应的参数值$\beta$**做定积分即可
  • 这里$\alpha ,\beta$大小关系无限制,$\alpha$不一定小于$\beta$,这和第一类曲线积分不同

公式的其他形式

• 若$L$有方程$y=\psi (x)$或$x=\varphi (y)$给出,可以看作参数方程的特例
• 例如:当$L$有$y=\varphi (x)$,$x\in [a,b]$给出时(可以视为$x=t,y=\varphi (t)$或直接$x=x,y=\varphi (x)$,参数为$x$,公式(1)改写为${\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$=${\int }_a^{b}P[x,\psi (x)]+Q[x,\psi (x)]{\psi }^{\prime }(x)\mathrm{d}x$(12)
  • $a,b$分别对应$L$的起点和终点

推广

• 公式(1)可以推广到空间曲线$\Gamma$由参数方程$x=\varphi (t)$,$y=\psi (t)$,$z=\omega (t)$给出的情形

• 此时${\int }_{\Gamma }P(x,y,z)\mathrm{d}x+Q(x,y,z)\mathrm{d}y+R(x,y,z)\mathrm{d}z$=${\int }_{\alpha }^{\beta }P[\varphi (t),\psi (t),\omega (t)]{\varphi }^{\prime }(t)+Q[\varphi (t),\psi (t),\omega (t)]{\psi }^{\prime }(t)+R[\varphi (t),\psi (t),\omega (t)]{\omega }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$

• $\alpha ,\beta$分别对应$\Gamma$的起点和终点