Fourier分析导论——第7章——有限Fourier分析(E.M. Stein & R. Shakarchi)

第7章  有限Fourier分析

This past year has seen the birth, or rather the re-

birth, of an exciting revolution in computing Fourier

transforms. A class of algorithms known as the fast

Fourier transform or FFT, is forcing a complete re-

assessment of many computational paths, not only in

frequency analysis, but in any fields where problems

can be reduced to Fourier transforms and/or convolu-

tions...

(过去的一年见证了计算Fourier变换领域令人兴奋的革命的诞生,或者更确切地说是重生。 一类被称为快速Fourier变换或 FFT 的算法正在迫使人们对许多计算路径进行彻底的重新评估,不仅在频率分析中,而且在任何可以将问题简化为Fourier变换和/或卷积的领域......  )

---------------------------------------------------- C. Bingham and J. W. Tukey, 1966----------------------

在前一章中我们学习了圆周上的函数的Fourier级数,以及定义在Euclid空间 \mathbb{R}^{d} 上的Fourier变换。现在,本章的目标是引入对函数的另一个版本的Fourier分析,即,定义在有限集合之上的,更确切地说,是定义在有限 Abel群上的函数的Fourier分析。这个理论特别优雅且简单,因为无限和与积分被有限和取代,因此收敛问题消失了

当我们把精力转向有限Fourier分析时,我们以最简单的例子开始,即,从 ℤ(N)开始,其中,底层空间是圆周上 N 次单位根(乘法)群(group)。这个群也可以以加法群的形式实现,例如, ℤ/ ℤ(N),这是以 N 为模的整数的等价类。群 ℤ(N) 作为圆的自然逼近 (随着 N 趋于无穷大时)而出现,因为在第一幅图中,ℤ(N)的点对应于圆周上均匀地分布的 N 个点。由于这个原因,在实际应用中,群 ℤ(N)就成了圆周上存储函数信息的天然候选,而最终结果涉及Fourier级数的数值计算。当 N 很大的时候,这种情况特别美好,且具有形式 N=2^{n} 。现在,Fourier系数的计算导出了“快速Fouirer变换,” 它利用了这样一个事实——n 的归纳法从 N = 1 到 N=2^{n} 仅需要大约 \log N 步。这在实际应用中大大节省了时间。

在本章的第二部分,我们研究对有限 Abel 群进行Fourier分析的更一般的理论。这个时候,基本的例子是乘法群 \mathbb{Z}^{*}(q) 。 \mathbb{Z}^{*}(q)  的逆Fourier变换公式将被视为是证明算术级数中关于素数的Dirichlet定理(我们将在下一章学习)的关键一步,

1. ℤ(N)上的Fourier分析(Fourier analysis on ℤ(N))

我们转向学习第 N 次单位根群。这个群作为最简单的有限Abel群,它的出现是很自然的。它还给出了圆的均匀划分,因此如果希望在圆周上采样适当的函数,它是一个不错的选择。 此外,当 N 趋于无穷大时,这种划分变得更趋近,大家可能会期望我们这里讨论的离散Fourier理论趋向于圆周上Fourier级数的连续理论。 从广义上讲,尽管这方面的问题不是我们开发的,但情况确实如此。

1.1 群ℤ(N) (The group ℤ(N))

N 为一个正整数。对于一个复数 z,假如 z^{N}=1 , 则称其为 N 次单位根(root of unity)。N 次单位根的集合恰好是 

\{1,e^{2\pi i/N},e^{2\pi i2/N},...,e^{2\pi i(N-1)/N)}\} 。

事实上,假如 z^{N}=1 且 z=re^{i\theta} 。则,我们必定有 r^{N}e^{iN\theta}=1 , 取绝对值,产生 r = 1 。 由于 e^{iN\theta}=1  ,这意味着,= 2(其中,k ∈ ℤ) 。因此,假如 \zeta = e^{2\pi i/N} , 我们发现,\zeta^{k} 穷尽所有 N 次单位根。然而,注意到 \zeta^{N}=1 , 假如 nm 相差 N 的整数倍,则 \zeta^{n}=\zeta^{m} 。事实上,很明显,

\zeta^{n}=\zeta^{m} (当仅且当 nm  可以被 N 整除) 。

我们用 ℤ(N) 表示所有 N 次单位根的集合。从它的定义中可以清楚地看出,这个集合给出了圆的均匀(uniform)划分。注意,这个集合 ℤ(N) 满足下列属性:

(i)  假如 z w ∈ ℤ(N) ,则 zw ∈ ℤ(N) 且 zw = wz

(ii) 1 ∈ ℤ(N) 。

(iii) 假如z ∈ ℤ(N) ,则 \displaystyle z^{-1}=\frac{1}{z} \in \mathbb{Z}(N) 且显然有 zz^{-1} = 1 

因此,我们可以推断出,ℤ(N)是复数乘法下的一个Abel。其合适的定义将在后面的第 2.1 节中详细列出。

Fourier分析导论——第7章——有限Fourier分析(E.M. Stein & R. Shakarchi)_第1张图片

------------------------------------图1 当 N = 9 和 N=2^{6}=64 时的 N 次单位根群------------------------

存在另一种群ℤ(N)的可视化方式。这包括选择确定每个单位根的ζ的整数幂。在上面我们观察到,满足 \zeta^{n}=\zeta^{m} 的整数并不是唯一的,因为,只要 相差 N 的整数倍即可。那么,自然地,我们可以选取满足 0 ≤ nN – 1 的整数。尽管这种选取根据“集合”而言很合理,但我们会问,当我们乘以单位根时,会发生什么。很显然,我们必须加上对应的整数,因为 \zeta^{n} \zeta^{m} = \zeta^{n+m} 并不能保证 0 ≤ n + m N – 1 。事实上,假如 \zeta^{n} \zeta^{m} = \zeta^{k} 且 0 ≤ nN – 1 ,则,n + mk 相差 N 的整数倍。因此,为了求得与 \zeta^{n} \zeta^{m} 的单位根相对应的[0, N – 1]中的整数,我们看到,在整数 nm 相加之后,我们必须以 N 为模执行递归运算,即,求得使 (n + m) – k N 的整数倍且介于 0 ≤ kN – 1 之间的唯一整数。一个等价方案是,将每一个单位根 ω 与使得  \zeta^{n}=\omega   的整数类 n关联起来。对每个单位根这样操作,我们就求得了 N 个不相交的无限类中的整数划分。将这两个类加在一起,选择它们之中任一整数,比如说,分别选择 nm ,并将类的总和定义为包含整数 n + m 的类。

我们公式化上面的概念。对于两个整数 xy,如果其差 x y 能整数 N ,则称 xy N 同余的(congruent modulo N),我们写作 xy mod N 。换句话说,这意味着,xy 之差为 N 的整数倍。作为一个简单的练习, 检验以下三个属性:

\bullet    xx (对于所有 x)。

\bullet    如果 xy mod N ,则 yx mod N

\bullet    如果 xy mod N yz mod N ,则 xz mod N

以上定义了 ℤ 上的一种等价关系。令 R(x) 表示整数 x 的这种等价类,或者留数类(residue class),形如 x + kN (k∈ℤ)的任何整数都是 R(x) 的一个元素(或“一种表示”)。事实上,恰好存在 N 个等价类,且每个类存在一个介于 0 到 N – 1 之间的唯一表示。现在,我们可以通过定义

R(x) + R(y) = R(x + y) 

增加等价类。显然,这种定义独立于表示 x y ,因为,假如 x’ R(x)且  y’ R(y),则读者很容易验证 x’  + y’ R(x + y) 。这将等价类集转变为Abel群,称为取模的整数群(或数群,group of integers modulo N),有时候表示为ℤ/N ℤ。这种联系

R(k) \longleftrightarrow e^{2\pi ik/N}

给出了两个Abel群 ℤ/N ℤ 和 ℤ(N)之间的一种对应关系。因为这种运算是所推崇的,从整数模 N 的加法变为复数的乘法的意义上,我们也将用ℤ(N)来表示按N取模的整数群。观察到,0∈ℤ/N ℤ 对应圆周上的 1 。

V W 分别表示按N取模的整数群和N次单位根群之上的复数值函数的向量空间。然后,上面给出的标识转入如下关系的 VW

F(k) \longleftrightarrow e^{2\pi ik/N}

其中,F表示模N整数群上的函数,f 表示N次单位根群上的函数。

今后,我们用 ℤ(N)表示整数模 N N 次单位根群

1.2 ℤ(N)上的逆Fourier变换定理和Plancherel恒等式 (Fourier inversion theorem and Plancherel identity on ℤ(N))

在ℤ(N)上发展Fourier分析的首要且最重要的一步是,在圆周的情况下,求得与指数函数 e_{n}(x)=e^{2\pi inx} 相对应的函数。这些指数函数的一些重要属性是:

(i)    \{ e_{n} \}_{n \in \mathbb{Z}} 是一个针对圆周上Riemann可积函数空间上内积(1)(在第3章中)的正交集。

(ii)    e_{n}  的(三角多项式)有限线性组合在圆周上的连续函数空间中是稠密的(dense)。

(iii)  e_{n}(x+y)=e_{n}(x)e_{n}(y) 。

在 ℤ(N)上,合适的相似对象是由

e_{\ell}(k)=\zeta^{\ell k}=e^{2\pi i\ell k/N} (对于 = 0,...,N – 1 且 k = 0,...,N – 1)

所定义的 N 个函数 e_{0 }\:,...\:,e_{N-1} , 其中, \zeta=e^{2\pi i/N} 。为了理解(i)和(ii)的并列关系,我们可将ℤ(N)上的复数值函数想象成一个向量空间 V,赋予(endowed with)Hermite内积

\displaystyle (F,G)=\sum_{k=0}^{n-1}F(k)\overline{G(k)} 

且关联范数为

\displaystyle \| F \|^{2}=\sum_{k=0}^{N-1}|F(k)|^{2} 。

引理 1.1 函数族  \{e_{0} ,...,e_{N-1}\}  是正交的事实上

(e_{m},e_{\ell})=\left \{ \begin{array}{lr} N(if \: m=\ell) \\[0.2cm] \\ 0 (if \: m \neq \ell)\end{array} \right. 。

证明:

我们有  

\displaystyle (e_{m},e_{\ell})=\sum_{k=0}^{N-1}\zeta^{mk}\zeta^{-\ell k}=\sum_{k=0}^{N-1}\zeta^{(m-\ell)k} 。

m = ,和中的每一项等于1,总和等于N 。假如 m ≠ ,则 q=\zeta^{(m-\ell)} 不等于1,常规公式

\displaystyle 1 + q + q^{2} + ... + q^{N-1} = \frac{1-q^{N}}{1-q} 

证明了 (e_{m},e_{\ell})=0 ,因为 q^{N}=1 。

因为 N 个函数 e_{0} ,..,e_{N-1} 是正交的,则它们一定是线性独立的,且因为向量空间是 N 维的,我们推断出 \{e_{0} ,...,e_{N-1}\} 是 V 的一个正交基。显然,属性(iii)也成立,即,对于所有的 ,以及所有的km∈ℤ(N),有 e_{\ell}(k + m)=e_{\ell}(k)e_{\ell}(m) 。

根据引理,每一个向量 e_{\ell} 都有一个范数 \sqrt{N} , 因此,假如我们定义 

e_{\ell}^{*}=\frac{1}{\sqrt{N}}e_{\ell}  ,

则  \{e_{0}^{*} ,...,e_{N-1}^{*}\} 是 V 的一个正交基,因此,对于任意 FV,我们有

(1)       \displaystyle F=\sum_{n=0}^{N-1}(F,e_{n}^{*})e_{n}^{*} 以及  \displaystyle \|F\|^{2}=\sum_{n=0}^{N-1}\left |(F,e_{n}^{*}) \right |^{2} 。

假如我们定义 F 的第 项 Fourier系数

\displaystyle a_{n}=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}F(k)e^{-2\pi ikn/N} ,

以上的观察给出了下面的基本定理,即,逆Fourier变换和Parseval-Plancherel公式的ℤ(N)版本。

定理1.2  假如 F ℤ(N)上的一个函数

\displaystyle F(k)=\sum_{n=0}^{N-1}a_{n}e^{2\pi ink/N} 。

此外,

\displaystyle \sum_{k=0}^{N-1}\|a_{n}\|^{2}=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1}|F(k)|^{2} 。

对于证明,一旦我们观察到

\displaystyle a_{n}=\frac{1}{N}(F,e_{n})=\frac{1}{\sqrt{N}}(F,e_{n}^{*}) ,

则,直接就可以从(1)推断出定理。

评述:对于足够平滑的函数(比如 C^{2} ) ,  通过在有限模型 ℤ(N)(见练习3)上令 N ⟶∞的方式,在圆周上恢复逆Fourier变换是可能的。

1.3 快速Fourier变换 (The fast Fourier transform)

快速Fourier变换是作为一种高效计算 ℤ(N) 上函数 F 的Fourier系数的方法而开发出来的方法。

在数值分析中很自然地出现的问题是,确定一种算法,使其可以最小化计算机计算ℤ(N)上已经函数的Fourier系数所耗费的时间。因为计算这个Fourier系数所耗费的时间大致与计算机必须执行的运算数量成正比,我们的问题就成了,给定了ℤ(N)上的值,最小化求得所有Fourier系数 \{a_{n}\} 所必须的运算数量。就运算而言,我们指的是复数的加法或者乘法。

我们以对这个问题的一个简单(naive)的解决方案开始。固定 N, 并假设我们已知 F (0),..., F(N - 1) 以及 \omega_{N}=e^{-2\pi i/N} 。假如我们用 a_{k}^{N}(F) 表示ℤ()上F的第 项Fourier系数,则,据根定义

\displaystyle a_{k}^{N}(F)=\frac{1}{N}\sum_{r=0}^{N-1}F(r)\omega_{N}^{kr} ,

并粗略地估算表明,计算所有的Fourier系数所需的计算数量 ≤  2N^{2}+N 。事实上,需要花费最多 N – 2 次乘法来确定 \omega_{N}^{2} \:,...\:, \omega_{N}^{N-1} , 每一个系数 \omega_{k}^{N} 需要 N + 1 次乘法和N – 1 次加法。 现在,我们提出快速Fourier变换, 这是一种优化上面获得的界 O(N^{2}) 的方法。例如,如果我们将我们的研究范围限制在圆的划分是二进制的(dyadic)(即,N=2^{n} ) 情况下,这样的改进是可能的(另见练习9)。

定理 1.3 已知  \omega_{N}=e^{-2\pi i/N}  且 N = 2^{n} 以至多

4 \cdot 2^{n} \cdot n = 4 N \log_{2}(N) = O(N \log (N))

次操作计算 ℤ(N上一个函数的Fourier系数是可能的。

证明:

定理的证明包括使用M个划分点的计算,以获得2M个划分点的Fourier系数。因为我们选择 N = 2^{n}  , 所以作为包含 n = O( \log (N))  步骤的递归的结果,我们获得了所预期的公式。

令 #(M) 表示计算 ℤ(M)上任意函数的所有Fourier系数所需的最小计算数量。定理证明的关键在于包含后续的递归步骤。

引理 1.4  假如给予我们   \omega_{2M} = e^{-2\pi i/(2M)} , 则

\#(2M) \leq 2 \#(M) + 8M 。

证明:

\omega_{2M} \:,...\:,\omega_{2M}^{2M } 的计算要求不超过 2M次运算。注意,特别地,我们得到 \omega_{M} = e^{-2\pi i/M}=\omega_{2M}^{2} 。主要思想在于,对于 ℤ(2M) 上任意已知函数 F,我们考虑 ℤ(M)上的两个函数  F_{0} 和 F_{1} ,它们分别定义为

F_{0}(r) = F(2r) 和   F_{1}(r) = F(2r+1) 。

我们假设,对于函数  F_{0} 和 F_{1} ,分别以各自不超过 #(M) 次运算计算出其Fourier系数是可能的。假如我们分别用  a_{k}^{2M} 和  a_{k}^{M} 来表示对应群 ℤ(2M) 和ℤ() 的Fourier系数,则,我们有 

\displaystyle a_{k}^{2M}(F) = \frac{1}{2} \left [a_{k}^{M}(F_{0}) + a_{k}^{M}(F_{1}) \omega_{2M}^{k} \right ] 。

为了证明这一点, 我们在Fourier系数 a_{k}^{2M}(F) 的定义中对奇数整数和偶数整数求和,并求得 

\begin{array}{rl} a_{k}^{2M}(F)&\displaystyle=\frac{1}{2M}\sum_{r=0}^{2M-1}F(r)\omega_{2M}^{kr} \\[0.2cm]\\ &\displaystyle=\frac{1}{2}\left [ \frac{1}{M}\sum_{\ell=0}^{M-1}F(2\ell) \omega_{2M}^{k(2\ell)}+ \frac{1}{M}\sum_{m=0}^{M-1}F(2m+1) \omega_{2M}^{k(2m+1)}\right ] \\[0.2cm] \\ &\displaystyle=\frac{1}{2}\left [ \frac{1}{M}\sum_{\ell=0}^{M-1}F_{0}(\ell) \omega_{M}^{k\ell}+ \frac{1}{M}\sum_{m=0}^{M-1}F_{1}(m) \omega_{M}^{km}\omega_{2M}^{k}\right ] , \end{array}

这就确定了我们的论断。

其结果便是,已知 a_{k}^{M}(F_{0}) ,a_{k}^{M}(F_{1}) 和 \omega_{2M}^{k} , 我们看到,每一个 a_{k}^{2M}(F)  可以用不超过3次运算(1次加法和2次乘法)被执行计算。因此 

 \#(2M) \leq 2M + 2 \#(M) + 3×2M = 2 \#(M) + 8M \: ,

完成引理的证明。 

n 的归纳法(其中 N=2^{n} ) 将推导出定理的证明。起始步骤 n = 1 很容易,因为 N = 2 ,这两个Fourier系数是

\displaystyle a_{0}^{N}(F)=\frac{1}{2}\left [F(1)+F(-1) \right ] 和  \displaystyle a_{1}^{N}(F)=\frac{1}{2}\left [F(1)+(-1)F(-1) \right ] 。

计算这些Fourier系数要求不超过5次运算,合计小于 4×2 = 8 。假如当 N=2^{n-1} 时定理使得 \#(N) \leq 4 \cdot 2^{n-1} \cdot (n - 1) 成立。根据引理,我们一定有

\displaystyle \#(2N) \leq 2 \cdot 4 \cdot 2^{n-1}\cdot(n - 1) + 8\cdot 2^{n-1} = 4\cdot 2^{n}\cdot n \: ,

这就推出了归纳的步骤和定理的证明。

2. 有限Abel群上的Fourier分析(Fourier analysis on finite Abelian groups)

本章其余部分的主要目标是推广在ℤ(N)特殊情况下获得的Fourier级数展开的结果

在简要介绍了与有限Abel群相关的一些概念之后,我们转向特征(character)这一重要概念。在我们的背景(setting)中,我们发现特征与群 ℤ(N) 上的指数函数 e_{0}\:,\: ...\: , e_{N-1}  发挥相同的作用,从而为任意有限Abel群理论的发展提供了关键要素(ingredient)。事实上,只要证明有限Abel群具有“足够”的特征,这就会自动导出所期的Fourier理论。

2.1 Abel群 (Abelian groups)

一个Abel群(或称交换群(commutative group))由一个集合G 连同 G的元素对 (a,b)⟼ a.b 之上的二元运算构成,且这个群满足以下条件:

(i) 结合性(Associativity):a•(bc) = (a b) •c (对于所有 a,b ,cG )。

(ii) 恒等性(Identity):存在一个元素 u G (通常写为1或0 ),使得 au = ua =(对于所有 aG )。

(iii) 可逆性(Inverses):对于每一个 aG, 都存在一个元素 a^{-1} \in G ,使得 aa^{-1}=a^{-1}a = u 。

(iv) 交换性(Commutativity):对 a bG ,我有 ab = ba

我们留下单位元和逆元是唯一的事实作为简单的验证。

提醒:在Abel群的定义中,我们对 G 中的操作使用了“乘法(multiplicative)”符号,有时候,人们使用“加减”符号 a + b和 – a ,而不是 ab 和 a^{-1} 。有时,一种表示法可能比另一种更合适,下面的示例说明了这一点。同一个群可能有不同的解释,一种是乘法符号更具暗示性,另一种很自然地将具有加法特性的群视为运算。

Abel群的例子:

\bullet    具有常规加法的实数集 ℝ 。恒等式是0 ,x 的逆是 – x

此外,\mathbb{R}-\{0\} 和 \mathbb{R}^{+}=\{x \in \mathbb{R}:x >0 \} 配备标准乘法时,是Abel群。在这两种情况下,单位都是1且x 的逆是 1/ x

\bullet    复数平面上的单位圆 \mathcal{S}^{1}  。假如我们将圆视为点集 \{ e^{i\theta}: \theta \in \mathbb{R} \} ,群运算是标准的复数乘法运算。然而,假如我们用它们的角度 θ 来标识 \mathcal{S}^{1}  上的点,则 \mathcal{S}^{1}  就成了 ℝ 模 2π ,其中,运算是模 2π 的加法。

\bullet    ℤ(N)是一个Abel群。ℤ(N)在复数乘法规则之下是一个群,被视为圆周上的 N次单位根。然而,假如 ℤ(N)被解释为 ℤ/ N ℤ(整数模N ),则它是一个Abel群,在其中,这个运算是加法模 N

\bullet    最后一个例子是 ℤ*(q) 。这个群定义为具有乘法逆元的所有以 q 为模的整数的集合,且这个群的运算是模q乘法。这个重要的例子在下面再作更详细的讨论。

两个Abel群 G H 之间的一个同态(homomorphism)是一种映射 : G H ,且这个映射 f 满足属性

f (ab) = f (a)•f (b)  ,

其中,等式左侧的小圆点(•)是 G 中的运算,等式右侧的小圆点是 H 中的运算。

对于两个 Abel 群G H,假如存在一个从G 的一个双射(bijective)同态(译注:双射,即,既是满射(集合中每一个元素都被映射上)又是单射(一对一的映射)),我们称这两个群是同构的(isomorphic),并记作 G H 。等价地,假如存在另一个同态 \tilde{f}:H \longrightarrow G ,使得对于所有 aG bH ,有

(\tilde{f} \circ f)(a)=a  和 (f \circ \tilde{f})(b)=b ,

则称Abel群 G H 是同构的。

大致地说,同构群描述的是相同的(same)”对象因为它们具有相同的底层群结构(这才是真正重要的);然而,它们的特殊符号表示可能不相同。

例子1:

当我们考虑群 ℤ(N)的时候,就已经出现了一对同构的Abel群。在其一种表示中,它以复数域 ℂ 中的 N 次单位根乘法群的形式呈现。在另一种表示中,它以整数模 N 的留数类加法群 ℤ /N ℤ 的形式呈现。映射 n R(n)将单位根与ℤ /N ℤ 中由 n 确定的留数类 z=e^{2\pi i/N}=\zeta^{n} 关联起来,提供了两种不同表示之间的一种同构关系。

例子2:

与前面的示例并行,我们看到圆(具有乘法运算)与模2π的实数同构(具有加法运算)。

例子3:

指数和对数的属性确保了

指数:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^{+} 和   对数:\mathbb{R}^{+} \longrightarrow \mathbb{R} 

是两个互逆的同态。因此,ℝ (具有加法运算)和 \mathbb{R}^{+}  (具有乘法运算)是同构的。

接下来,我们主要对有限阿Abel感兴趣。在这种情况下,我们用 | G |表示在G中的元数数目,称| G |是群的(order),例如,ℤ(N)的阶是N

以下按顺序作一些补充说明:

\bullet   假如 G_{1}  和  G_{2} 是两个Abel群,它们的直积(direct product) G_{1} \times G_{2} 是一个群,其元素是成对的 (g_{1},g_{2})  且 g_{1} \in G_{1} , g_{2} \in G_{2} 。则 G_{1} \times G_{2}  中的运算定义为

(g_{1},g_{2}) \cdot (g_{1}^{'},g_{2}^{'}) = (g_{1} \cdot g_{1}^{'},g_{2} \cdot g_{2}^{'}) 。

很显然,假如 G_{1} 和  G_{2} 是有限的Abel群,则 G_{1} \times G_{2} 也是如此。直积的定义立即可以推广到有限多个因子的情况  G_{1} \times G_{2} \times ... \times G_{n} 。

\bullet    有限Abel群的结构定理指出,这样的一个群同构于 ℤ(N) 类型群的直积;请参见问题 2 。这是一个美好的结论,它给了我们所有有限Abel群的类的一个概观。然而,由于下面我们不会使用这个定理,所以我们省略了它的证明。

我们现在简要讨论在下一章的Dirichlet定理证明中发挥核心作用的Abel群的例子。

群 \mathbb{Z}^{*}(q)

q 为一个正整数。我们看到,在ℤ(q)中的群的乘法可以毫无歧义地被定义,因为,假如 nn’ 是同余的,mm’ 是同余的(两者都对 q 取模),则 mn m’ n’ q取模是同余的。对于一个整数 n∈ℤ(q) ,如果存在一个整数 m∈ℤ(q),使得

nm ≡ 1 mod q (译注:由上面已知,读作“nm和1模q同余”) ,

则称这个整数 n 是一个单位(unit)。用  \mathbb{Z}^{*}(q) 表示ℤ(q)中所有单位的集合,则很明显,按照我们的定义,在模 q 乘法下, \mathbb{Z}^{*}(q) 是一个Abel群。因此,在加法群ℤ(q)内,横亘着一个在乘法运算下是群的 \mathbb{Z}^{*}(q) 群。 \mathbb{Z}^{*}(q) 的另一种特征将在下一章介绍,因为ℤ(q)中的这些元素相对于 q 是互质的。

例子4:

在 ℤ(4) = {0,1,2,3}中的单位群是

\mathbb{Z}^{*}(4) = \{1,3\} 。

 这反映了这种事实——奇数整数根据它们的形式 4k + 1 或 4k + 3 被分成两类。事实上, \mathbb{Z}^{*}(4)  与 ℤ(2) 同构的。事实上,我们可以做下面的关系:

---------- \mathbb{Z}^{*}(4)----------- ℤ(2)

-------------------1  \longleftrightarrow  0

-------------------3  \longleftrightarrow  1

并注意到,\mathbb{Z}^{*}(4) 中的乘法对应ℤ(2)中的加法。

例子5:

在 ℤ(5)中的单位群是  \mathbb{Z}^{*}(5) = \{1,2,3,4\} 。

此外,\mathbb{Z}^{*}(5) 对 ℤ(4)是同构的,识别如下:

---------- \mathbb{Z}^{*}(5)---------------ℤ(4)

--------------1  ⟷  0

--------------2  ⟷  1

--------------3  ⟷  3

--------------4  ⟷  2

例子6:

在 ℤ(8) = {0,1,2,3, 4, 5, 6, 7}中的单位群是

\mathbb{Z}^{*}(8)=\{1,3,5,7\} 。

事实上, \mathbb{Z}^{*}(8) 对直积 ℤ(2) × ℤ(2)是同构的。在这种情况下,这两个群之间的同构识别如下:、

----------\mathbb{Z}^{*}(8)------ ℤ(2) × ℤ(2)

--------------1  ⟷  (0 ,0)

--------------3  ⟷  (1 ,0)

--------------5  ⟷  (0 ,1)

--------------7  ⟷  (1 ,1)

2.2 特征 (Characters)

G 为一个有限 Abel 群(具有乘法符号),令 \mathcal{S}^{1}  为复平面上的单位圆。G上的一个特征是一个复数值函数 e : G \longrightarrow \mathcal{S}^{1} ,且函数 e 满足下面的条件:

(2)    e(ab) = e(a) e(b) (对于所有 abG )。

换句话说,一个特征是一种从 G 到圆群的同态

特征在有限 Fourier 级数的背景下起着重要作用,主要是因为乘法性质(2)对圆周上指数函数和定律

e_{\ell}(k+m)=\ell(k)\ell(m) (对在ℤ(N)上的Fourier理论中使用的指数函数  e_{0}\:,\:...\:,\:e_{N-1} 成立)

推广了类似恒等式。在那个场景下,我们有   e_{\ell}(k)=\zeta^{\ell k}=e^{2\pi i\ell k/N} , 且 0 ≤ ≤ N – 1, k ∈ℤ(N),  事实上,指数函数   e_{0}\:,\:...\:,\:e_{N-1} 恰好是群 ℤ() 的所有特征。

假如 G 是一个有限 Abel 群,我们用 \widehat{G} 来表示 G 的所有特征,则接下来观察到,这个集合继承了一个Abel群的结构。

引理 2.1 集合  \widehat{G} 在由

(e_{1}\cdot e_{2})(a) = e_{1}(a) e_{2}(a) (对于所有的 aG )

所定义的乘法下是一个 Abel

假如读者观察到平凡的(trivial)特征起着单位的作用,则对这个诊断的证明就变得非常简单。我们称GG 对偶群(dual group)。

鉴于上述一般Abel群的特征与ℤ(N)上的指数之间的类比,我们多收集几个群与其对偶群的例子。这提供了特征所起核心作用的更进一步的证据(见练习4,5,和6)。

例子1

假如 G = ℤ(N),对于某些 0 ≤ ≤ N – 1,G的所有特征采用形式 e_\ell(k) = \zeta^{\ell k} = e^{2\pi i \ell k/N} ,很容易验证, e_{\ell} \longmapsto \ell 给出了从 ℤ(N) 到 ℤ(N) 的一个同构。

例子2

    圆(注:除了(2),一个无限Abel群上的一个特征的定义要求连续性。当 G 是圆的时候,即ℝ 或 \mathbb{R}^{+} 时,连续的概念指的是标准的极限概念)的对偶群恰好是 \{e_{n}\}_{n \in \mathbb{Z}} (其中,e_{n}=e^{2\pi inx} )。此外, e_{n} \longmapsto n 给出了 \widehat{\mathcal{S}^{1}} 与 整数 ℤ 之间的一个同构。

例子3

    ℝ 上的特征表述为

e_{\xi}(x)=e^{2\pi i\xi x} (其中,ξ∈ℝ) 。

因此, e_{\xi} \longmapsto \xi 给出了一个从 \widehat{\mathbb{R}} 到 ℝ 的同构。

例子4: 

指数:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^{+} 是一个同构,我们从前面的例子推断出, \mathbb{R}^{+} 上的特征由

e_{\xi}(x)=e^{2\pi i\xi }=e^{2\pi i\xi \log (x)} (其中,ξ∈ℝ)

给出,且 \widehat{\mathbb{R}^{+}} 对 ℝ (或 \mathbb{R}^{+} ) 是同构的。

下面的引理表明,一个无处消失的乘法函数是一个特征,这个结果稍后会有用。

引理 2.2 令 G 为一个有限Abel且令 e : G ⟶ ℂ - {0}乘法函数,即,对于所有的

对于所有 abG ,有 e(ab) = e(a) e(b)。e 是一个特征

证明:

G 是有限的,e(a)的绝对值是上下有界的,因为 a 覆盖 G。因为 \left |e(b^{n}) \right | = [e(b)]^{n} , 我们可以推断出,对于所有的 bG ,有 | e(b)| = 1。

下一步是验证这些特征是否形成群 G 上函数的向量空间 V 的正交基。这个事实是在特殊情况 G = ℤ(N) 中从对 e_{0}\:,\:...\:,\:e_{N-1} 的显式描述中直接获得的。

在一般情况下,我们从正交关系开始; 然后我们通过证明有与群的阶一样多的特征来证明存在“足够多”的特征。

2.3 正交关系 (The orthogonality relations)

V 为定义在有限Abel群G上的复数值函数向量空间。注意,V的维度是|G|(G的阶)。我们定义 V 上的 Hermite内积为

(3)       \displaystyle (f , g) = \frac{1}{|G|}\sum_{a \in G}f(a)\overline{g(a)} (只要 , gV ) 。

这里的和接管了群,因此是有限的。

定理2.3  G的特征构成了一个针对以上定义的内积的正交函数族

因为对于任意特征,| e(a) | = 1,我们求得

\displaystyle (e , e) = \frac{1}{|G|}\sum_{a \in G}e(a)\overline{e(a)}= \frac{1}{|G|}\sum_{a \in G}^{}\left | e(a) \right |^{2}=1 。

假如 e e’ ,且两者都是特征,我们必须证明 ( , e’ ) = 0;我们在以下引理中分离出关键步聚。

引理 2.4  假如 e是群 G 的一个非次要 特征,则  \sum_{a \in G}e(a)= 0 。

证明:

选择 bG 使得 e(b) ≠ 1 。则,我们有

\displaystyle e(b)\sum_{a \in G}e(a)=\sum_{a \in G}e(b)e(a)=\sum_{a \in G}e(ab)=\sum_{a \in G}e(a) 。

最后一个等式如此推导:因为,当 a 覆盖群的时候,ab 也覆盖G 。因此,\sum_{a \in G}e(a)=0 。

现在,我们可以推导出对定理的证明。假设 e’ 是一个区别于 e 的特征。因为 e(e')^{-1} 是非平凡的(non-trivial),引理意味着

\displaystyle \sum_{a \in G}e(a) \left [e(e') \right ]^{-1}= 0 。

因为 \left [e(e') \right ]^{-1}= \overline{e'(a)} , 定理得证。

作为定理的一个结论,我们可以看到,不同的特征是线性无关的。因为V 在 ℂ 上的维度是 | G |,我们可以推断出 \widehat{G} 的阶是有限的且≤| G |。事实上,现在我们获得的主要结论是  | \widehat{G} | = | G | 。

2.4 特征作为全族 (Characters as a total family)

下面完成特征和复指数之间的类比。

定理2.5  一个有限Abel群的特征构成 G 上函数向量空间的一个基

存在几种针对这个定理的证明方法。一种是使用我们前面已经提及过的对有限Abel群的构造定理,它指出,任何这样的群都是循环群的直积,即,ℤ(N)这样类型的群。因为循环群是自对偶的(self-dual),使用这个事实,我们可以推断出  | \widehat{G} | = | G | ,因此,特征构成了针对 G 的基(见问题3)

这里,我们将直接证明定理,而无需这些考量。

假如 V是一个具有内积( , )的 d 维向量空间。对于线性变换 T: VV , 假如对于所有的 vw V ,假如它保留了内积 (Tv, Tw) = (v, w),则它是一个单位变换(unitary transformation)。这个来自线性代数的谱定理断言——任意单位变换都是可对角化的(diagonalizable)。换句话说,存在向量 V 的一个基 \{v_{1}\:,...\:, v_{d}\} (特征向量(eigenvectors)) , 使得  T(v_{i}) = \lambda_{i} v_{i} ( 其中 \lambda_{i} \in \mathbb{C} 是附加到 v_{i} 上的特征值)。

定理 2.5 的证明基于谱定理的以下扩展。

引理 2.6 假如  \{T_{1},...,T_{d}\} 是有限维内积空间 V上的一个单位变换的交换族(a commuting family);

T_{i}T_{j}=T_{j}T_{i} (对于所有 ij )。

 \{T_{1},..., T_{d}\} 是同时可对角化的(simultaneously diagonalizable)。换句话说,存在一个针对 V 的基它的元素由每一个特征值 T_{i}  ( i = 1,...,k )组成

证明:

我们在 k 上使用递归法。k = 1 这种情况只是谱定理。假如对于 k – 1 个元素构成的可交换单位变换的任意族,引理都成立。谱定理应用到  T_{k} 指的是,V 是其特征向量的直和 

V = V_{\lambda_{1}} \oplus ... \oplus V_{\lambda_{s}} ,

其中,V_{\lambda_{i}}  表示具有特征值  \lambda_{i} 的所有特征向量的子空间。我们声明, T_{1}\:,...\:, T_{k} 中的每一项映射每一个特征空间  V_{\lambda_{i}}  到其自身。事实上,假如 v \in V_{\lambda_{i}} 且 1 ≤ jk – 1 ,则

T_{k} T_{j}(v) = T_{j} T_{k}(v) = T_{j}(\lambda_{i}v) = \lambda_{i} T_{j}(v) ,

因此, T_{j}(v) \in V_{\lambda_{i}} ,声明得证。

因为对 T_{1}\:,...\:, T_{k-1} 的 V_{\lambda_{i}} 的限制构成了可交换单位线性变换,归纳假设保证它们在每个子空间 V_{\lambda_{i}} 上同时可对角化。这种可对角化为我们提供了对每个 V_{\lambda_{i}}  所期望的基,因此,也为 V 提供了所期望的基。

我们可以证明定理2.5。回顾这个事实,即定义在 G上的复数值函数的向量空间具有维度| G |。对于每一个 a G ,我们定义线性变换 T_{a}:V \longrightarrow V 为

( T_{a} f )( x) = f (a \cdot x ) (对 x G ) 。

因为 G 是Abel群,很显然,对于任意 a b G ,有 T_{a} T_{b} = T_{b} T_{a} ,我们很容易验证,T_{a } 是定义在 V 上的 Hermite内积(3)的单位变换,根据引理2.6 , 族 \{T_{a}\}_{a \in G} 同时可对角化的。这指的是,存在V 的一个基 \{v_{b}(x)\}_{a \in G} 使得每一个 v_{b}(x) 都是 T_{a} 的特征函数。令 v为这些基的元素之一,且令 1 为 G 中的单位元素。我们一定有 (1) ≠ 0 ,否则

v(a) = v(a\cdot 1) = (T_{a} v)(1) = \lambda_{a} v(1) = 0 ,

其中,\lambda_{a} 是针对 T_{a} 的 v 的特征值。因此,v = 0 ,这是矛盾的。我们声明,按 w(x) = \lambda_x = v(x)/ w(1) 定义的函数是 G 的一个特征。如此论证,我们求得,对于每一个xw(x) ≠ 0 ,且 

\displaystyle w(a \cdot b) = \frac{v(a \cdot b)}{v(1)}=\frac{\lambda_{a} v(b)}{v(1)}=\lambda_{a}\lambda_{b}\frac{v(1)}{v(1)}=\lambda_{a}\lambda_{b}=w(a)w(b) 。

我们现在援引引理2.2来推导出这个证明。

2.5 逆Fourier变换和Plancherel公式(Fourier inversion and Plancherel formula)

现在,我们将前面几节中获得的结果放在一起,讨论有限Abel群 G 上函数的Fourier展开。给定 G 上的函数 f G 的特征 e,我们定义 f 关于e的Fourier系数

\displaystyle \hat{f}(e)=(f,e)=\frac{1}{|G|}\sum_{a \in G}f(a)\overline{e(a)} ,

且定义 f 的Fourier 级数为 

\displaystyle f \sim \sum_{a \in \widehat{G}}\hat{f}(e)e 。

因为特征构成一个基,我们知道,对于常量 c_{e} 的某些集合,有

\displaystyle f \sim \sum_{a \in \widehat{G}}c_{e}e 。

根据特征所满足的正交关系,我们求得

(f,e)=c_{e} ,

因此, f 在事实上等于其 Fourier 级数,即,

\displaystyle f \sim \sum_{a \in \widehat{G}}\hat{f}(e)e 。

下面,我们总结结论。

定理 2.7  令 G为一个有限 Abel 群。的特征构成一个 G 上定义的函数的配备了内积

\displaystyle (f,g)=\frac{1}{|G|}\sum_{a \in G}f(a)\overline{g(a)} 

的向量空间 的正交基。

特别地,G 上任意函数 f  等于其Fourier 级数

\displaystyle f = \sum_{a \in \widehat{G}}\hat{f}(e)e 。

最后,我们有对有限 Abel 群的 Parseval-Plancherel 公式。

定理 2.8  假如 fG上的一个函数,则 \displaystyle \|f\|^{2} = \sum_{a \in \widehat{G}}\|\hat{f}(e)\|^{2} 。

证明:

\displaystyle ||f||^{2} = ( f , f ) = \sum_{e \in \widehat{G}}(f,e)\overline{\hat{f}(e)}=\sum_{e \in \widehat{G}}\|\hat{f}(e)\|^{2} 。

该陈述与定理 1.2 的明显差异是由于所使用的Fourier系数的归一化不同所致

内容来源:

<> E.M. Stein & R. Shakarchi

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