Fourier分析导论——第7章——有限Fourier分析(E.M. Stein & R. Shakarchi)

第7章  有限Fourier分析

This past year has seen the birth, or rather the re-

birth, of an exciting revolution in computing Fourier

transforms. A class of algorithms known as the fast

Fourier transform or FFT, is forcing a complete re-

assessment of many computational paths, not only in

frequency analysis, but in any fields where problems

can be reduced to Fourier transforms and/or convolu-

tions...

(过去的一年见证了计算Fourier变换领域令人兴奋的革命的诞生，或者更确切地说是重生。 一类被称为快速Fourier变换或 FFT 的算法正在迫使人们对许多计算路径进行彻底的重新评估，不仅在频率分析中，而且在任何可以将问题简化为Fourier变换和/或卷积的领域......  )

---------------------------------------------------- C. Bingham and J. W. Tukey, 1966----------------------

在前一章中我们学习了圆周上的函数的Fourier级数，以及定义在Euclid空间  上的Fourier变换。现在，本章的目标是引入对函数的另一个版本的Fourier分析，即，定义在有限集合之上的，更确切地说，是定义在有限 Abel群上的函数的Fourier分析。这个理论特别优雅且简单，因为无限和与积分被有限和取代，因此收敛问题消失了。

当我们把精力转向有限Fourier分析时，我们以最简单的例子开始，即，从 ℤ(N)开始，其中，底层空间是圆周上 N 次单位根(乘法)群(group)。这个群也可以以加法群的形式实现，例如， ℤ/ ℤ(N)，这是以 N 为模的整数的等价类。群 ℤ(N) 作为圆的自然逼近 (随着 N 趋于无穷大时)而出现，因为在第一幅图中，ℤ(N)的点对应于圆周上均匀地分布的 N 个点。由于这个原因，在实际应用中，群 ℤ(N)就成了圆周上存储函数信息的天然候选，而最终结果涉及Fourier级数的数值计算。当 N 很大的时候，这种情况特别美好，且具有形式  。现在，Fourier系数的计算导出了“快速Fouirer变换，” 它利用了这样一个事实——n 的归纳法从 N = 1 到  仅需要大约 步。这在实际应用中大大节省了时间。

在本章的第二部分，我们研究对有限 Abel 群进行Fourier分析的更一般的理论。这个时候，基本的例子是乘法群  。   的逆Fourier变换公式将被视为是证明算术级数中关于素数的Dirichlet定理(我们将在下一章学习)的关键一步，。

1. ℤ(N)上的Fourier分析(Fourier analysis on ℤ(N))

我们转向学习第 N 次单位根群。这个群作为最简单的有限Abel群，它的出现是很自然的。它还给出了圆的均匀划分，因此如果希望在圆周上采样适当的函数，它是一个不错的选择。 此外，当 N 趋于无穷大时，这种划分变得更趋近，大家可能会期望我们这里讨论的离散Fourier理论趋向于圆周上Fourier级数的连续理论。 从广义上讲，尽管这方面的问题不是我们开发的，但情况确实如此。

1.1 群ℤ(N) (The group ℤ(N))

令 N 为一个正整数。对于一个复数 z，假如  , 则称其为 N 次单位根(root of unity)。N 次单位根的集合恰好是 

 。

事实上，假如  且  。则，我们必定有  , 取绝对值，产生 r = 1 。 由于   ,这意味着，Nθ = 2kπ (其中，k ∈ ℤ) 。因此，假如  , 我们发现， 穷尽所有 N 次单位根。然而，注意到  , 假如 n 和 m 相差 N 的整数倍，则  。事实上，很明显，

 (当仅且当 n – m  可以被 N 整除) 。

我们用 ℤ(N) 表示所有 N 次单位根的集合。从它的定义中可以清楚地看出，这个集合给出了圆的均匀(uniform)划分。注意，这个集合 ℤ(N) 满足下列属性：

(i)  假如 z ，w ∈ ℤ(N) ，则 zw ∈ ℤ(N) 且 zw = wz 。

(ii) 1 ∈ ℤ(N) 。

(iii) 假如z ∈ ℤ(N) ,则  且显然有  

因此，我们可以推断出，ℤ(N)是复数乘法下的一个Abel群。其合适的定义将在后面的第 2.1 节中详细列出。

------------------------------------图1 当 N = 9 和  时的 N 次单位根群------------------------

存在另一种群ℤ(N)的可视化方式。这包括选择确定每个单位根的ζ的整数幂。在上面我们观察到，满足  的整数并不是唯一的，因为，只要 n 和 m 相差 N 的整数倍即可。那么，自然地，我们可以选取满足 0 ≤ n ≤ N – 1 的整数。尽管这种选取根据“集合”而言很合理，但我们会问，当我们乘以单位根时，会发生什么。很显然，我们必须加上对应的整数，因为  并不能保证 0 ≤ n + m ≤ N – 1 。事实上，假如  且 0 ≤ n ≤ N – 1 ，则，n + m 与 k 相差 N 的整数倍。因此，为了求得与  的单位根相对应的[0, N – 1]中的整数，我们看到，在整数 n和 m 相加之后，我们必须以 N 为模执行递归运算，即，求得使 (n + m) – k 是 N 的整数倍且介于 0 ≤ k ≤ N – 1 之间的唯一整数。一个等价方案是，将每一个单位根 ω 与使得     的整数类 n关联起来。对每个单位根这样操作，我们就求得了 N 个不相交的无限类中的整数划分。将这两个类加在一起，选择它们之中任一整数，比如说，分别选择 n 和 m ，并将类的总和定义为包含整数 n + m 的类。

我们公式化上面的概念。对于两个整数 x和 y，如果其差 x – y 能整数 N ，则称 x和 y 是模 N 同余的(congruent modulo N)，我们写作 x ≡ y mod N 。换句话说，这意味着，x和 y 之差为 N 的整数倍。作为一个简单的练习, 检验以下三个属性：

    x ≡ x (对于所有 x)。

    如果 x ≡ y mod N ，则 y ≡ x mod N 。

    如果 x ≡ y mod N 且 y ≡ z mod N ，则 x ≡ z mod N 。

以上定义了 ℤ 上的一种等价关系。令 R(x) 表示整数 x 的这种等价类，或者留数类(residue class)，形如 x + kN (k∈ℤ)的任何整数都是 R(x) 的一个元素(或“一种表示”)。事实上，恰好存在 N 个等价类，且每个类存在一个介于 0 到 N – 1 之间的唯一表示。现在，我们可以通过定义

 

增加等价类。显然，这种定义独立于表示 x 和 y ，因为，假如 x’ ∈ R(x)且  y’ ∈ R(y),则读者很容易验证 x’  + y’ ∈ R(x + y) 。这将等价类集转变为Abel群,称为按N 取模的整数群(或模N 整数群，group of integers modulo N)，有时候表示为ℤ/N ℤ。这种联系

给出了两个Abel群 ℤ/N ℤ 和 ℤ(N)之间的一种对应关系。因为这种运算是所推崇的，从整数模 N 的加法变为复数的乘法的意义上，我们也将用ℤ(N)来表示按N取模的整数群。观察到，0∈ℤ/N ℤ 对应圆周上的 1 。

令 V 和 W 分别表示按N取模的整数群和N次单位根群之上的复数值函数的向量空间。然后，上面给出的标识转入如下关系的 V 和 W：

其中，F表示模N整数群上的函数，f 表示N次单位根群上的函数。

今后，我们用 ℤ(N)表示整数模 N 群或 N 次单位根群。

1.2 ℤ(N)上的逆Fourier变换定理和Plancherel恒等式 (Fourier inversion theorem and Plancherel identity on ℤ(N))

在ℤ(N)上发展Fourier分析的首要且最重要的一步是，在圆周的情况下，求得与指数函数  相对应的函数。这些指数函数的一些重要属性是：

(i)     是一个针对圆周上Riemann可积函数空间上内积(1)(在第3章中)的正交集。

(ii)      的(三角多项式)有限线性组合在圆周上的连续函数空间中是稠密的(dense)。

(iii)   。

在 ℤ(N)上，合适的相似对象是由

 (对于 = 0，...，N – 1 且 k = 0，...，N – 1)

所定义的 N 个函数  , 其中，  。为了理解(i)和(ii)的并列关系，我们可将ℤ(N)上的复数值函数想象成一个向量空间 V，赋予(endowed with)Hermite内积

 

且关联范数为

 。

引理 1.1 函数族    是正交的。事实上，

 。

证明：

我们有  

 。

若 m = ，和中的每一项等于1，总和等于N 。假如 m ≠ ，则  不等于1，常规公式

 

证明了  ，因为  。

因为 N 个函数  是正交的，则它们一定是线性独立的，且因为向量空间是 N 维的，我们推断出  是 V 的一个正交基。显然，属性(iii)也成立，即，对于所有的 ，以及所有的k，m∈ℤ(N)，有  。

根据引理，每一个向量  都有一个范数  , 因此，假如我们定义 

  ,

则   是 V 的一个正交基,因此，对于任意 F∈V，我们有

(1)        以及   。

假如我们定义 F 的第 n 项 Fourier系数为

 ，

以上的观察给出了下面的基本定理，即，逆Fourier变换和Parseval-Plancherel公式的ℤ(N)版本。

定理1.2  假如 F 是 ℤ(N)上的一个函数， 则

 。

此外，

 。

对于证明，一旦我们观察到

 ,

则，直接就可以从(1)推断出定理。

评述：对于足够平滑的函数(比如  ) ,  通过在有限模型 ℤ(N)(见练习3)上令 N ⟶∞的方式，在圆周上恢复逆Fourier变换是可能的。

1.3 快速Fourier变换 (The fast Fourier transform)

快速Fourier变换是作为一种高效计算 ℤ(N) 上函数 F 的Fourier系数的方法而开发出来的方法。

在数值分析中很自然地出现的问题是，确定一种算法，使其可以最小化计算机计算ℤ(N)上已经函数的Fourier系数所耗费的时间。因为计算这个Fourier系数所耗费的时间大致与计算机必须执行的运算数量成正比，我们的问题就成了，给定了ℤ(N)上的值，最小化求得所有Fourier系数  所必须的运算数量。就运算而言，我们指的是复数的加法或者乘法。

我们以对这个问题的一个简单(naive)的解决方案开始。固定 N， 并假设我们已知 F (0),..., F(N - 1) 以及  。假如我们用  表示ℤ(N )上F的第 k 项Fourier系数,则，据根定义

 ，

并粗略地估算表明，计算所有的Fourier系数所需的计算数量 ≤   。事实上，需要花费最多 N – 2 次乘法来确定  , 每一个系数  需要 N + 1 次乘法和N – 1 次加法。 现在，我们提出快速Fourier变换， 这是一种优化上面获得的界  的方法。例如，如果我们将我们的研究范围限制在圆的划分是二进制的(dyadic)(即， ) 情况下，这样的改进是可能的(另见练习9)。

定理 1.3 已知    且  以至多

次操作计算 ℤ(N) 上一个函数的Fourier系数是可能的。

证明：

定理的证明包括使用M个划分点的计算，以获得2M个划分点的Fourier系数。因为我们选择   , 所以作为包含   步骤的递归的结果，我们获得了所预期的公式。

令 #(M) 表示计算 ℤ(M)上任意函数的所有Fourier系数所需的最小计算数量。定理证明的关键在于包含后续的递归步骤。

引理 1.4  假如给予我们    , 则

 。

证明：

 的计算要求不超过 2M次运算。注意，特别地，我们得到  。主要思想在于，对于 ℤ(2M) 上任意已知函数 F，我们考虑 ℤ(M)上的两个函数   和  ，它们分别定义为

 和    。

我们假设，对于函数   和  ，分别以各自不超过 #(M) 次运算计算出其Fourier系数是可能的。假如我们分别用   和   来表示对应群 ℤ(2M) 和ℤ(M ) 的Fourier系数，则，我们有 

 。

为了证明这一点, 我们在Fourier系数  的定义中对奇数整数和偶数整数求和，并求得 

这就确定了我们的论断。

其结果便是，已知  ， 和  , 我们看到，每一个   可以用不超过3次运算(1次加法和2次乘法)被执行计算。因此 

 

完成引理的证明。 

对 n 的归纳法(其中  ) 将推导出定理的证明。起始步骤 n = 1 很容易，因为 N = 2 ，这两个Fourier系数是

 和   。

计算这些Fourier系数要求不超过5次运算，合计小于 4×2 = 8 。假如当  时定理使得  成立。根据引理，我们一定有

这就推出了归纳的步骤和定理的证明。

2. 有限Abel群上的Fourier分析(Fourier analysis on finite Abelian groups)

本章其余部分的主要目标是推广在ℤ(N)的特殊情况下获得的Fourier级数展开的结果。

在简要介绍了与有限Abel群相关的一些概念之后，我们转向特征(character)这一重要概念。在我们的背景(setting)中，我们发现特征与群 ℤ(N) 上的指数函数   发挥相同的作用，从而为任意有限Abel群理论的发展提供了关键要素(ingredient)。事实上，只要证明有限Abel群具有“足够”的特征，这就会自动导出所期的Fourier理论。

2.1 Abel群 (Abelian groups)

一个Abel群(或称交换群(commutative group))由一个集合G 连同 G的元素对 (a,b)⟼ a.b 之上的二元运算构成，且这个群满足以下条件：

(i) 结合性(Associativity)：a•(b•c) = (a• b) •c (对于所有 a,b ,c ∈G )。

(ii) 恒等性(Identity)：存在一个元素 u ∈G (通常写为1或0 )，使得 a•u = u•a = a  (对于所有 a∈G )。

(iii) 可逆性(Inverses)：对于每一个 a∈G, 都存在一个元素  ，使得  。

(iv) 交换性(Commutativity)：对 a ，b∈G ，我有 a•b = b•a 。

我们留下单位元和逆元是唯一的事实作为简单的验证。

提醒：在Abel群的定义中，我们对 G 中的操作使用了“乘法(multiplicative)”符号，有时候，人们使用“加减”符号 a + b和 – a ，而不是 a•b 和  。有时，一种表示法可能比另一种更合适，下面的示例说明了这一点。同一个群可能有不同的解释，一种是乘法符号更具暗示性，另一种很自然地将具有加法特性的群视为运算。

Abel群的例子：

    具有常规加法的实数集 ℝ 。恒等式是0 ，x 的逆是 – x 。

此外， 和  配备标准乘法时，是Abel群。在这两种情况下，单位都是1且x 的逆是 1/ x 。

    复数平面上的单位圆   。假如我们将圆视为点集  ,群运算是标准的复数乘法运算。然而，假如我们用它们的角度 θ 来标识   上的点，则   就成了 ℝ 模 2π ，其中，运算是模 2π 的加法。

    ℤ(N)是一个Abel群。ℤ(N)在复数乘法规则之下是一个群，被视为圆周上的 N次单位根。然而，假如 ℤ(N)被解释为 ℤ/ N ℤ(整数模N )，则它是一个Abel群,在其中，这个运算是加法模 N 。

    最后一个例子是 ℤ*(q) 。这个群定义为具有乘法逆元的所有以 q 为模的整数的集合，且这个群的运算是模q乘法。这个重要的例子在下面再作更详细的讨论。

两个Abel群 G 和 H 之间的一个同态(homomorphism)是一种映射 f : G ⟶ H ，且这个映射 f 满足属性

f (a•b) = f (a)•f (b)  ，

其中，等式左侧的小圆点(•)是 G 中的运算，等式右侧的小圆点是 H 中的运算。

对于两个 Abel 群G 和 H，假如存在一个从G 到 H 的一个双射(bijective)同态(译注：双射，即，既是满射(集合中每一个元素都被映射上)又是单射(一对一的映射))，我们称这两个群是同构的(isomorphic),并记作 G ≈ H 。等价地，假如存在另一个同态  ，使得对于所有 a∈G ， b∈H ，有

  和  ，

则称Abel群 G 和 H 是同构的。

大致地说，同构群描述的是“相同的(same)”对象，因为它们具有相同的底层群结构(这才是真正重要的)；然而，它们的特殊符号表示可能不相同。

例子1：

当我们考虑群 ℤ(N)的时候，就已经出现了一对同构的Abel群。在其一种表示中，它以复数域 ℂ 中的 N 次单位根乘法群的形式呈现。在另一种表示中，它以整数模 N 的留数类加法群 ℤ /N ℤ 的形式呈现。映射 n ⟼ R(n)将单位根与ℤ /N ℤ 中由 n 确定的留数类  关联起来，提供了两种不同表示之间的一种同构关系。

例子2：

与前面的示例并行，我们看到圆(具有乘法运算)与模2π的实数同构(具有加法运算)。

例子3：

指数和对数的属性确保了

指数： 和   对数： 

是两个互逆的同态。因此，ℝ (具有加法运算)和   (具有乘法运算)是同构的。

接下来，我们主要对有限阿Abel感兴趣。在这种情况下，我们用 | G |表示在G中的元数数目，称| G |是群的阶(order),例如，ℤ(N)的阶是N。

以下按顺序作一些补充说明：

   假如   和   是两个Abel群，它们的直积(direct product)  是一个群，其元素是成对的   且  ,  。则   中的运算定义为

 。

很显然，假如  和   是有限的Abel群，则  也是如此。直积的定义立即可以推广到有限多个因子的情况   。

    有限Abel群的结构定理指出，这样的一个群同构于 ℤ(N) 类型群的直积；请参见问题 2 。这是一个美好的结论，它给了我们所有有限Abel群的类的一个概观。然而，由于下面我们不会使用这个定理，所以我们省略了它的证明。

我们现在简要讨论在下一章的Dirichlet定理证明中发挥核心作用的Abel群的例子。

群 

令 q 为一个正整数。我们看到，在ℤ(q)中的群的乘法可以毫无歧义地被定义，因为，假如 n与 n’ 是同余的，m与 m’ 是同余的(两者都对 q 取模)，则 mn 与 m’ n’ 按q取模是同余的。对于一个整数 n∈ℤ(q) ，如果存在一个整数 m∈ℤ(q)，使得

nm ≡ 1 mod q (译注：由上面已知，读作“nm和1模q同余”) ，

则称这个整数 n 是一个单位(unit)。用   表示ℤ(q)中所有单位的集合，则很明显，按照我们的定义，在模 q 乘法下，  是一个Abel群。因此，在加法群ℤ(q)内，横亘着一个在乘法运算下是群的  群。  的另一种特征将在下一章介绍，因为ℤ(q)中的这些元素相对于 q 是互质的。

例子4：

在 ℤ(4) = {0，1，2，3}中的单位群是

 。

 这反映了这种事实——奇数整数根据它们的形式 4k + 1 或 4k + 3 被分成两类。事实上，   与 ℤ(2) 同构的。事实上，我们可以做下面的关系：

---------- ----------- ℤ(2)

-------------------1    0

-------------------3    1

并注意到， 中的乘法对应ℤ(2)中的加法。

例子5：

在 ℤ(5)中的单位群是   。

此外， 对 ℤ(4)是同构的，识别如下：

---------- ---------------ℤ(4)

--------------1  ⟷  0

--------------2  ⟷  1

--------------3  ⟷  3

--------------4  ⟷  2

例子6：

在 ℤ(8) = {0，1，2，3, 4, 5, 6, 7}中的单位群是

 。

事实上，  对直积 ℤ(2) × ℤ(2)是同构的。在这种情况下，这两个群之间的同构识别如下：、

---------------- ℤ(2) × ℤ(2)

--------------1  ⟷  (0 ，0)

--------------3  ⟷  (1 ，0)

--------------5  ⟷  (0 ，1)

--------------7  ⟷  (1 ，1)

2.2 特征 (Characters)

令 G 为一个有限 Abel 群(具有乘法符号)，令   为复平面上的单位圆。G上的一个特征是一个复数值函数  ，且函数 e 满足下面的条件：

(2)    e(a•b) = e(a) e(b) (对于所有 a，b∈G )。

换句话说，一个特征是一种从 G 到圆群的同态。

特征在有限 Fourier 级数的背景下起着重要作用，主要是因为乘法性质(2)对圆周上指数函数和定律

 (对在ℤ(N)上的Fourier理论中使用的指数函数   成立)

推广了类似恒等式。在那个场景下，我们有    , 且 0 ≤ ≤ N – 1, k ∈ℤ(N),  事实上，指数函数    恰好是群 ℤ(N ) 的所有特征。

假如 G 是一个有限 Abel 群，我们用  来表示 G 的所有特征，则接下来观察到，这个集合继承了一个Abel群的结构。

引理 2.1 集合   在由

 (对于所有的 a∈G )

所定义的乘法下是一个 Abel群。

假如读者观察到平凡的(trivial)特征起着单位的作用，则对这个诊断的证明就变得非常简单。我们称G为 G 的对偶群(dual group)。

鉴于上述一般Abel群的特征与ℤ(N)上的指数之间的类比，我们多收集几个群与其对偶群的例子。这提供了特征所起核心作用的更进一步的证据(见练习4，5，和6)。

例子1：

假如 G = ℤ(N)，对于某些 0 ≤ ≤ N – 1，G的所有特征采用形式  ，很容易验证，  给出了从 ℤ(N) 到 ℤ(N) 的一个同构。

例子2：

    圆(注：除了(2),一个无限Abel群上的一个特征的定义要求连续性。当 G 是圆的时候，即ℝ 或  时，连续的概念指的是标准的极限概念)的对偶群恰好是  (其中， )。此外，  给出了  与 整数 ℤ 之间的一个同构。

例子3：

    ℝ 上的特征表述为

 (其中，ξ∈ℝ) 。

因此，  给出了一个从  到 ℝ 的同构。

例子4： 

指数： 是一个同构，我们从前面的例子推断出，  上的特征由

 (其中，ξ∈ℝ)

给出，且  对 ℝ (或  ) 是同构的。

下面的引理表明，一个无处消失的乘法函数是一个特征，这个结果稍后会有用。

引理 2.2 令 G 为一个有限Abel群，且令 e : G ⟶ ℂ - {0}乘法函数，即，对于所有的

对于所有 a，b∈G ，有 e(a•b) = e(a) e(b)。则 e 是一个特征。

证明：

群 G 是有限的，e(a)的绝对值是上下有界的，因为 a 覆盖 G。因为  , 我们可以推断出，对于所有的 b∈G ，有 | e(b)| = 1。

下一步是验证这些特征是否形成群 G 上函数的向量空间 V 的正交基。这个事实是在特殊情况 G = ℤ(N) 中从对  的显式描述中直接获得的。

在一般情况下，我们从正交关系开始； 然后我们通过证明有与群的阶一样多的特征来证明存在“足够多”的特征。

2.3 正交关系 (The orthogonality relations)

令 V 为定义在有限Abel群G上的复数值函数向量空间。注意，V的维度是|G|(G的阶)。我们定义 V 上的 Hermite内积为

(3)        (只要 f  , g ∈V ) 。

这里的和接管了群，因此是有限的。

定理2.3  G的特征构成了一个针对以上定义的内积的正交函数族。

因为对于任意特征，| e(a) | = 1，我们求得

 。

假如 e ≠ e’ ，且两者都是特征，我们必须证明 ( e  , e’ ) = 0；我们在以下引理中分离出关键步聚。

引理 2.4  假如 e是群 G 的一个非次要 特征，则   。

证明：

选择 b∈G 使得 e(b) ≠ 1 。则，我们有

 。

最后一个等式如此推导：因为，当 a 覆盖群的时候，ab 也覆盖G 。因此， 。

现在，我们可以推导出对定理的证明。假设 e’ 是一个区别于 e 的特征。因为  是非平凡的(non-trivial)，引理意味着

 。

因为  , 定理得证。

作为定理的一个结论，我们可以看到，不同的特征是线性无关的。因为V 在 ℂ 上的维度是 | G |,我们可以推断出  的阶是有限的且≤| G |。事实上，现在我们获得的主要结论是   。

2.4 特征作为全族 (Characters as a total family)

下面完成特征和复指数之间的类比。

定理2.5  一个有限Abel群的特征构成 G 上函数向量空间的一个基。

存在几种针对这个定理的证明方法。一种是使用我们前面已经提及过的对有限Abel群的构造定理，它指出，任何这样的群都是循环群的直积，即，ℤ(N)这样类型的群。因为循环群是自对偶的(self-dual)，使用这个事实，我们可以推断出   ，因此，特征构成了针对 G 的基(见问题3)。

这里，我们将直接证明定理，而无需这些考量。

假如 V是一个具有内积( , )的 d 维向量空间。对于线性变换 T: V ⟶ V , 假如对于所有的 v，w ∈V ，假如它保留了内积 (Tv, Tw) = (v, w),则它是一个单位变换(unitary transformation)。这个来自线性代数的谱定理断言——任意单位变换都是可对角化的(diagonalizable)。换句话说，存在向量 V 的一个基  (特征向量(eigenvectors)) , 使得   ( 其中  是附加到  上的特征值)。

定理 2.5 的证明基于谱定理的以下扩展。

引理 2.6 假如   是有限维内积空间 V上的一个单位变换的交换族(a commuting family)；即，

 (对于所有 i, j )。

则   是同时可对角化的(simultaneously diagonalizable)。换句话说，存在一个针对 V 的基，它的元素由每一个特征值   ( i = 1,...,k )组成。

证明：

我们在 k 上使用递归法。k = 1 这种情况只是谱定理。假如对于 k – 1 个元素构成的可交换单位变换的任意族，引理都成立。谱定理应用到   指的是，V 是其特征向量的直和 

 ，

其中，  表示具有特征值   的所有特征向量的子空间。我们声明，  中的每一项映射每一个特征空间    到其自身。事实上，假如  且 1 ≤ j ≤ k – 1 ，则

 ，

因此，  ，声明得证。

因为对  的  的限制构成了可交换单位线性变换，归纳假设保证它们在每个子空间  上同时可对角化。这种可对角化为我们提供了对每个   所期望的基，因此，也为 V 提供了所期望的基。

我们可以证明定理2.5。回顾这个事实，即定义在 G上的复数值函数的向量空间具有维度| G |。对于每一个 a ∈ G ，我们定义线性变换  为

 (对 x ∈ G ) 。

因为 G 是Abel群，很显然，对于任意 a ，b ∈ G ，有  ，我们很容易验证， 是定义在 V 上的 Hermite内积(3)的单位变换，根据引理2.6 , 族  同时可对角化的。这指的是，存在V 的一个基  使得每一个  都是  的特征函数。令 v为这些基的元素之一,且令 1 为 G 中的单位元素。我们一定有 v (1) ≠ 0 ，否则

 ，

其中， 是针对  的 v 的特征值。因此，v = 0 ，这是矛盾的。我们声明，按  定义的函数是 G 的一个特征。如此论证，我们求得，对于每一个x ， w(x) ≠ 0 ，且 

 。

我们现在援引引理2.2来推导出这个证明。

2.5 逆Fourier变换和Plancherel公式(Fourier inversion and Plancherel formula)

现在，我们将前面几节中获得的结果放在一起，讨论有限Abel群 G 上函数的Fourier展开。给定 G 上的函数 f 和 G 的特征 e，我们定义 f 关于e的Fourier系数为

 ，

且定义 f 的Fourier 级数为 

 。

因为特征构成一个基，我们知道，对于常量  的某些集合，有

 。

根据特征所满足的正交关系，我们求得

 ,

因此， f 在事实上等于其 Fourier 级数，即，

 。

下面，我们总结结论。

定理 2.7  令 G为一个有限 Abel 群。G 的特征构成一个 G 上定义的函数的配备了内积

 

的向量空间 V 的正交基。

特别地，G 上任意函数 f  等于其Fourier 级数

 。

最后，我们有对有限 Abel 群的 Parseval-Plancherel 公式。

定理 2.8  假如 f 是 G上的一个函数，则  。

证明：

 。

该陈述与定理 1.2 的明显差异是由于所使用的Fourier系数的归一化不同所致。

内容来源：

<> E.M. Stein & R. Shakarchi