量子计算与量子信息读书笔记——第1章简介与概述（上）

简介与概述

研究对象：使用量子力学系统能够完成的信息处理任务

基本概念涉及领域：量子力学、计算机科学、信息论和密码体系

历史背景

物理学

危机：经典物理学做出荒谬的预言

解决：量子力学理论创立

量子力学

• 内容：数学框架或物理理论构建的规则集

• 特点：规则简单，违背直觉

  量子计算与量子信息的目标之一是开发工具以增进对量子力学的直观把握、并使其预言对人们更加通俗易懂

发展：对单量子系统的完全操控的兴趣

初步成就：在几个量子比特上进行几十次操作的小型量子计算机

计算机科学

诞生：图灵机（可编程计算机）

图灵机

• 丘奇-图灵论题(Church-Turing thesis)：任何可以在硬件上执行的算法，在通用图灵机上都有等效算法来完成

发展：

• 冯诺依曼模型
• 发明晶体管
• 摩尔定律：计算机的能力将以恒定的速率增长，大约每两年增长一倍

困境：随着电子器件越来越小，其功能会受到量子效应的干扰（摩尔定律最终失效）

解决：采用不同的计算模式——量子计算机相比传统计算机在速度上有本质的超越

”有效“与”非有效“模拟

• 计算复杂性：有效算法解决问题所用的时间是关于问题规模的多项式量级
• 加强版丘奇-图灵论题：使用图灵机可以有效地模拟任何算法过程

强丘奇-图灵论题挑战

• 模拟计算：某些类型的模拟计算机可以有效解地解决在图灵机上没有有效解决方案的问题

  在评估计算模型的效率时必须考虑现实噪声的影响（解决：量子纠错码、容错量子计算理论）

• 随机算法：Solovay-Strassen测试算法利用随机性给出素数合数的概率

  解决：修改强丘奇-图灵论题：任何算法都可以用概率图灵机有效模拟

• 用物理学定律推导出更强的丘奇-图灵论题：定义一种能够有效模拟任意物理系统（基于量子力学原理）的计算设备

  证明量子计算机比图灵机和概率图灵机更强大的证据：

  1. Peter Shor质因数分解、离散对数
  2. Lov Grover量子搜索

  费曼：建议建立基于量子力学原理的计算机以克服模拟量子力学系统的困难

设计量子计算机算法的困难：(1)经典直觉阻碍，难以利用量子效应 (2)算法需优于经典算法

信息论

诞生：香农发表现代信息与通信理论奠基性论文

关键：在数学上定义信息的概念

信息论基本定理：

• 无噪声信道编码定理：定量给出用于存储从信源发出信息所需的物理资源
• 有噪声信道编码定理：定量给出有噪声的信道能可靠传输的信息量（纠错码保护上限）

量子信息理论

• 定义”量子比特“作为切实的物理资源
• 发展量子纠错码，允许量子计算机在有噪声的情况下能有效计算，允许在带噪声的量子信道进行可靠通信

研究方向

• 量子纠错码理论

  思想基础：经典线性编码理论

  经典的纠错码思想已被证明在研究和理解量子纠错码上非常重要

  目的：保护量子态免受噪声干扰

• 传输效率

  超密编码：通过只将一个量子比特从发送方发送到接受方，来传输两个经典的比特

• 分布式量子计算：量子计算机可以用比经典计算机指数少的通信量来求解某些问题

  挑战：寻找现实中重要且分布式量子计算比经典计算有实质性优势的问题

• 网络化量子信息论：量子信道网络的信息承载能力

  初步成果：两个噪声很大的零容量信道并行运行，在量子力学中，将其中一个零容量信道反向可以获得非零容量的信息传输

  主要问题：更好地理解量子信道网路的信息承载特性

密码学

内容：涉及彼此不一定信任的两方或多方的通信或计算的问题（最著名的加密学问题：保密通信）

私钥密码系统

• 工作方式：通信双方共享一个只有他们知道的私钥，Alice利用私钥加密信息并将加密信息发送给Bob，Bob需知道私钥以消除Alice施加的变换

• 问题：密钥分配（恶意第三方窃听）

• 解决：量子密钥分发

  基本思想：利用观测一般会破坏被观测系统的量子力学原理

  操作：丢弃有窃听者出现时建立的密钥位，并重新确定密钥

公钥密码系统

• 工作方式：不需要预先共享一个密钥，Bob需公布一个公钥让所有人得到，Alice利用此公钥加密她发送给Bob的信息，而第三方仅根据公钥来解密非常困难，但Bob有一个与该公钥配对的私钥使得他很容易解密
• 安全性：仅利用公钥解密是困难的
• 量子计算机在破解密码系统的应用

量子计算和量子信息

量子纠缠

• 价值：基本的自然资源，与能量、信息、熵及任何其他基本资源相当

未来方向

1. 教会我们以物理的方式对计算进行思考

   值得探索的内容丰富的新模型

   任何物理理论都可以作为信息处理和通信的基础

2. 学会用计算的方式思考物理学

   新的工具可以用来跨越微小和相对复杂的事物之间的鸿沟：计算与算法为构建和理解此类系统提供了系统化的手段

基本概念

量子比特

概念：具有某些特定属性的数学对象，用实际的物理系统来实现

状态：

• 计算基矢态：$|0⟩,|1⟩$（正交基）

• 叠加态：$|\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩(\alpha ,\beta \in \mathbb{C},|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1)$

• 二维复向量空间中的单位向量（连续状态）

  “$|⟩$”：Dirac记号

测量：

• 无法通过检查量子比特来确定它的量子态，当量子比特被观测时，只能得到0或1的测量结果
• $P(0)=|\alpha {|}^2,P(1)=|\beta {|}^2(\therefore |\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1$ 归一化长度为1$)$

例：$|+⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}|0⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}|1⟩\stackrel{测量}{⟶}\{\begin{array}{ll}0,& P=50\%,\\ 1,& P=50\%.\end{array}$

几何表示：
$$\begin{gathered} |\psi ⟩=e^{i\gamma }(\cos \frac{\theta }{2}|0⟩+e^{i\phi }\sin \frac{\theta }{2}|1⟩) \\ |\psi ⟩=\cos \frac{\theta }{2}|0⟩+e^{i\phi }\sin \frac{\theta }{2}|1⟩ \\ (\theta \in [0,\pi ],\phi \in [0,2\pi ]) \end{gathered}$$

验证：
$$\begin{gathered} \alpha =e^{i\gamma }\cos \frac{\theta }{2},\beta =e^{i\gamma }{e}^{i\phi }\sin \frac{\theta }{2} \\ \because |e^{i\theta }|=|\cos \theta +i\sin \theta |=1 \\ \therefore |\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=|e^{i\gamma }{|}^2{\cos }^2\frac{\theta }{2}+|e^{i\gamma }{e}^{i\phi }{|}^2{\sin }^2\frac{\theta }{2} \\ =|e^{i\gamma }{|}^2{\cos }^2\frac{\theta }{2}+|e^{i\gamma }{|}^2|e^{i\phi }{|}^2{\sin }^2\frac{\theta }{2} \\ ={\cos }^2\frac{\theta }{2}+{\sin }^2\frac{\theta }{2}=1 \\ \therefore |e^{i\gamma }\cos \frac{\theta }{2}{|}^2={\cos }^2\frac{\theta }{2},|e^{i\gamma }{e}^{i\phi }\sin \frac{\theta }{2}{|}^2={\sin }^2\frac{\theta }{2} \end{gathered}$$
($e^{i\gamma }$可以看作整体相位)

其中$\theta ,\phi$定义了单位三维球（布洛赫球面）上的一个点，如图：

对布洛赫球面的理解¹：

事实上，最初我们是将$|\psi ⟩$表为$|0⟩,|1⟩$的线性组合。考虑到$|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1$的限制并去除整体相位，我们可将其表为
$$|\psi ⟩=\cos \theta |0⟩+e^{i\phi }\sin \theta |1⟩(\theta \in [0,\frac{\pi }{2}],\phi \in [0,2\pi ]))$$
这样可以看作是$|1⟩$确定的复平面$x-O-y$与$|0⟩$确定的$z$轴构成的半球，如左图。

但问题在于，由于我们去除了整体相位，所有落在半球大圆上的态与$|1⟩$等价，这样不利于我们建立一一对应关系。为此，我们将其缩为一个点，类似于拉伸操作，将半球面拉成一个完整的球面。

受到拉伸的影响，原先用$\theta$确定的态将由$\frac{\theta }{2}$来确定。令${\theta }^{\prime }=2\theta \in [0,\pi ]$，故最终几何表示为
$$|\psi ⟩=\cos \frac{{\theta }^{\prime }}{2}|0⟩+e^{i\phi }\sin \frac{{\theta }^{\prime }}{2}|1⟩(\theta \in [0,\pi ],\phi \in [0,2\pi ])$$
这样便不难理解$|0⟩,|1⟩$为一组正交基了。

多量子比特

双量子比特

• 基矢态：$|00⟩,|01⟩,|10⟩,|11⟩$

• 态向量$|\psi ⟩={\alpha }_{00}|00⟩+{\alpha }_{01}|01⟩+{\alpha }_{10}|10⟩+{\alpha }_{11}|11⟩$（${\alpha }_{00},{\alpha }_{01},{\alpha }_{10},{\alpha }_{11}$称为振幅，$|00⟩,|01⟩,|10⟩,|11⟩$称为计算基矢态）

• 测量：

  1. 测量整体：$P(x(=00,01,10,11))=|{\alpha }_x{|}^2$，测量后量子比特变为$|x⟩$（归一化：$\sum _{x\in \{0,1{\}}^2}|{\alpha }_x|=1$）

  2. 测量子集（一个量子比特）：

     以测量第一个量子比特为例，$P(0)=|{\alpha }_{00}{|}^2+|{\alpha }_{01}{|}^2$，测量后量子比特变为$|{\psi }^{\prime }⟩=\frac{{\alpha }_{00}|00⟩+{\alpha }_{01}|01⟩}{\sqrt{|{\alpha }_{00}{|}^2+|{\alpha }_{01}{|}^2}}$，其中$\sqrt{|{\alpha }_{00}{|}^2+|{\alpha }_{01}{|}^2}$为归一化因子（使之满足归一化条件）

贝尔态（EPR对）

• 概念：$\frac{|00⟩+|11⟩}{\sqrt{2}}$

• 性质：第二个量子比特的测量结果总与第一个相同（贝尔态测量的相关性比任何经典系统存在的相关性都强）

  验证：$\frac{|00⟩+|11⟩}{\sqrt{2}}\stackrel{测量第一个量子比特}{⟶}\{\begin{array}{lll}0,& P=50\%& \to |{\psi }^{\prime }⟩=|00⟩,\\ 1,& P=50\%& \to |{\psi }^{\prime }⟩=|11⟩.\end{array}$

n量子比特系统

• 计算基矢态：$|x_1{x}_2\cdots x_n⟩$
• 量子态用$2^n$个振幅来刻画

量子计算

概念：描述量子态的变换

量子计算机由量子电路（电路+基本量子门）构造（类似经典计算机连线【信息传送】+逻辑门【操控信息】）

单量子比特门

性质

1. 线性性（非线性行为将导致悖论）

2. 可由$2\times 2$矩阵$U$给出（将$|0⟩$态变成矩阵第一列对应的状态，将$|1⟩$态变成矩阵第二列对应的状态）

   验证：记$X=(x_{ij}{)}_{2\times 2},|\psi ⟩=a_0|0⟩+a_1|1⟩$
   $$\left[\begin{array}{cc}{x}_{11}& x_{12}\\ x_{21}& x_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_0\\ a_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_0{x}_{11}+a_1{x}_{12}\\ a_0{x}_{21}+a_1{x}_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_0{x}_{11}\\ a_0{x}_{21}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{a}_1{x}_{12}\\ a_1{x}_{22}\end{array}\right]$$
   可以看到，$|0⟩$前的系数$a_0$与$X_{.1}=\left[\begin{array}{c}{x}_{11}\\ x_{21}\end{array}\right]$结合，而$|1⟩$前的系数$a_1$与$X_{.2}=\left[\begin{array}{c}{x}_{12}\\ x_{22}\end{array}\right]$结合

3. 矩阵$U$需满足酉性条件$U^{†}U=I$（其中$U^{†}$为$U$的共轭转置$\overline{U^T}$）（量子门作用后仍需满足归一化要求）

   酉性限制是量子们的唯一限制，任何酉矩阵都可以定义一个有效的量子门

4. 量子门种类无穷，但任意量子比特上的任何量子计算，都可以用一组通用的有限个门构成的集合生成

   结论：任何单量子比特酉门都可以分解成一个旋转和一个可以理解为绕$\hat{z}$旋转的门再加上一个全局相移

   可以证明任何$2\times 2$酉矩阵可以分解为
   $$U=e^{i\alpha }\left[\begin{array}{cc}{e}^{-i\beta /2}& 0\\ 0& e^{i\beta /2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \frac{\gamma }{2}& -\sin \frac{\gamma }{2}\\ \sin \frac{\gamma }{2}& \cos \frac{\gamma }{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{e}^{-i\delta /2}& 0\\ 0& e^{i\delta /2}\end{array}\right](\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \in \mathbb{R})$$
   进一步分解，无需实现任意的$\alpha ,\beta ,\gamma$，只需用一些特定的$\alpha ,\beta ,\gamma$来无限逼近任意的门

量子非门

• 作用：$\alpha |0⟩+\beta |1⟩\to \alpha |1⟩+\beta |0⟩$
• 矩阵表示：$X\equiv \left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$
• 输出：$X\left[\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\beta \\ \alpha \end{array}\right]$
• 电路表示：

Z门

• 作用：保持$|0⟩$不变，翻转$|1⟩$的符号变为$-|1⟩$
• 矩阵表示：$Z\equiv \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$
• 电路表示：

阿达玛门

• 作用：$|0⟩\to \frac{|0⟩+|1⟩}{\sqrt{2}},|1⟩\to \frac{|0⟩-|1⟩}{\sqrt{2}}$

• 矩阵表示：$H\equiv \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]$

• 几何意义：（以$|\psi ⟩=\frac{|0⟩+|1⟩}{\sqrt{2}}$为例，$\because H^2=E\therefore H|\psi ⟩=H^2|0⟩=|0⟩$）

  

  1. 先绕$\hat{y}$轴旋转$90°$，再绕$\hat{x}$旋转$180°$；
  2. 或绕$\frac{\hat{x}+\hat{z}}{\sqrt{2}}$旋转$180°$

• 电路表示：

多量子比特门

受控非门

• 概念：控制量子比特、目标量子比特

• 作用：

  1. 控制量子比特为0，则目标量子比特不变；控制量子比特为1，则目标量子比特翻转：

     $|00⟩\to |00⟩,|01⟩\to |01⟩,|10⟩\to |11⟩,|11⟩\to |10⟩$

  2. 或视作经典异或门的拓展：$|A,B⟩\to |A,B\oplus A⟩$（控制量子比特与目标量子比特做异或运算，并存储到目标量子比特上）

     经典门无法被视作酉门：异或门、与非门本质上不可逆（由$A\oplus B$的输出无法确定输入$A,B$，存在信息的损失），而酉量子门总是可逆的

• 矩阵表示： U C N = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 ] U_{CN}=\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix} UCN​= ​1000​0100​0001​0010​ ​，易知$U_{CN}^{†}{U}_{CN}=I$

  对矩阵的理解：
  根据矩阵的定义（线性映射基上取值在到达空间基下的坐标），我们可以将矩阵视作一个“处理器”，如图：

  

  其中矩阵的上方为输入段，左方为输出端。我们将出发空间的向量坐标排布在对应的基的上方，则每一个坐标与下方的列向量相乘得到的列向量为这个分量上的输出，将所有输出叠加起来即为矩阵作用后的结果。

  按照这样的理解，我们完全可以将矩阵作用在向量上视作如下的“电路”：

  

  回到量子门的矩阵表示上，我们便不难理解矩阵的每一列分别描述了对应的计算基矢态的变换，具体而言，第n列描述的是n的二进制分解对应的计算基矢态的变换。

• 电路表示：

• 结论：任何多量子比特逻辑门可以由受控非门和单量子门组成（与非门通用性的量子对应）

除计算基外的测量

条件：$|a⟩,|b⟩$正交（满足概率限制$|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1$）

结果：$|\psi ⟩=\alpha |a⟩+\beta |b⟩\stackrel{在\{|a⟩,|b⟩\}下测量}{⟶}\{\begin{array}{lll}a,& P=|\alpha {|}^2& \to |{\psi }^{\prime }⟩=|a⟩,\\ b,& P=|\beta {|}^2& \to |{\psi }^{\prime }⟩=|b⟩.\end{array}$

应用：用于观测结果的描述

在$\{|+⟩,|-⟩\}$下测量

$|+⟩\equiv \frac{|0⟩+|1⟩}{\sqrt{2}},|-⟩\equiv \frac{|0⟩-|1⟩}{\sqrt{2}}$

• 推导：

$$\begin{gathered} |\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩=\alpha \frac{|+⟩+|-⟩}{\sqrt{2}}+\beta \frac{|+⟩-|-⟩}{\sqrt{2}} \\ =\frac{\alpha +\beta }{\sqrt{2}}|+⟩+\frac{\alpha -\beta }{\sqrt{2}}|-⟩ \end{gathered}$$

• 结果：

$$\{\begin{array}{lll}+,& P=\frac{|\alpha +\beta {|}^2}{2}& \to |{\psi }^{\prime }⟩=|+⟩,\\ -,& P=\frac{|\alpha -\beta {|}^2}{2}& \to |{\psi }^{\prime }⟩=|-⟩.\end{array}$$

量子电路

元件与约定

读法

1. 从左向右
2. 电路中的每一条线代表连线（物理连线/时间段/空间上的移动）
3. 默认输入态全部为基矢态且由$|0⟩$组成

特征

1. 不允许“环路”（量子电路的一部分反馈到另一部分）：非周期电路
2. 不允许扇入操作（连线汇合，单线包含所有位的按位或）：为不可逆操作，不是酉操作
3. 不允许扇出操作（产生一个比特的多个拷贝）：量子力学禁止量子比特的拷贝

受控U门

• 概念：单量子比特控制位，n量子比特目标位

• 作用：控制位为0时不变，控制位为1时门U作用在目标量子比特上

• 电路表示：

• 特例：U=X时为受控非门（原型）

测量

• 作用：将$|\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩$转化为一个经典比特$M(P(M=0)=|\alpha {|}^2,P(M=1)=|\beta {|}^2)$（画双线区分）
• 电路符号：

实例

量子态交换

$\forall$计算基$|a,b⟩$:
$$\begin{array}{ll}|a,b⟩& \to |a,a\oplus b⟩\\ & \to |a\oplus (a\oplus b),a\oplus b⟩=|b,a\oplus b⟩(a\oplus a=0)\\ & \to |b,(a\oplus b)\oplus b⟩=|b,a⟩\end{array}$$

对上式的理解：

1. 相当于变量x,y位运算交换(x^=y^=x^=y)的量子版本
2. 设原先的两个量子比特$|{\psi }_1⟩={\alpha }_1|a⟩+{\beta }_1|b⟩,|{\psi }_2⟩={\alpha }_2|a⟩+{\beta }_2|b⟩$，则$|{\psi }_1⟩|{\psi }_2⟩={\alpha }_1{\alpha }_2|a,a⟩+{\alpha }_1{\beta }_2|a,b⟩+{\alpha }_2{\beta }_1|b,a⟩+{\beta }_1{\beta }_2|b,b⟩$经过上述电路作用后，所有计算基交换，变为${\alpha }_1{\alpha }_2|a,a⟩+{\alpha }_1{\beta }_2|b,a⟩+{\alpha }_2{\beta }_1|a,b⟩+{\beta }_1{\beta }_2|b,b⟩=({\alpha }_2|a⟩+{\beta }_2|b⟩)({\alpha }_1|a⟩+{\beta }_1|b⟩)=|{\psi }_2⟩|{\psi }_1⟩$，即实现了量子态的交换

量子比特复制电路（不可复制）

$$\begin{gathered} |\psi ⟩|0⟩=[a|0⟩+b|1⟩]|0⟩=a|00⟩+b|10⟩\to a|00⟩+b|11⟩ \\ |\psi ⟩|\psi ⟩=a^2|00⟩+ab|01⟩+ab|10⟩+b^2|11⟩ \\ |\psi ⟩|0⟩=|\psi ⟩|\psi ⟩\Rightarrow ab=0 \end{gathered}$$
所以仅$|\psi ⟩=|0⟩,|\psi ⟩=|1⟩$（经典信息）能够复制，一般量子态不能被复制（不可克隆定理）。

从隐藏信息的角度理解：

测量任意量子比特

复制

a|00>+b|11>

丢失隐藏信息

保留隐藏信息

一旦一个量子比特被测量，量子态的另一个量子比特也被确定，隐藏信息丢失；但如果量子比特已被复制，测量后该量子态的另一个量子比特仍然包含着隐藏信息，矛盾。故量子态不能被复制

贝尔态制备

记$|xy⟩\to |{\beta }_{xy}⟩$:
$$\begin{array}{ll}|00⟩\to \frac{|0⟩+|1⟩}{\sqrt{2}}|0⟩=\frac{|00⟩+|10⟩}{\sqrt{2}}\to \frac{|00⟩+|11⟩}{\sqrt{2}}& |{\beta }_{00}⟩=\frac{|00⟩+|11⟩}{\sqrt{2}}\\ |01⟩\to \frac{|0⟩+|1⟩}{\sqrt{2}}|1⟩=\frac{|01⟩+|11⟩}{\sqrt{2}}\to \frac{|01⟩+|10⟩}{\sqrt{2}}& |{\beta }_{01}⟩=\frac{|01⟩+|10⟩}{\sqrt{2}}\\ |10⟩\to \frac{|0⟩-|1⟩}{\sqrt{2}}|0⟩=\frac{|00⟩-|10⟩}{\sqrt{2}}\to \frac{|00⟩-|11⟩}{\sqrt{2}}& |{\beta }_{10}⟩=\frac{|00⟩-|11⟩}{\sqrt{2}}\\ |11⟩\to \frac{|0⟩-|1⟩}{\sqrt{2}}|1⟩=\frac{|01⟩-|11⟩}{\sqrt{2}}\to \frac{|01⟩-|10⟩}{\sqrt{2}}& |{\beta }_{11}⟩=\frac{|01⟩-|10⟩}{\sqrt{2}}\end{array}$$
其中$|{\beta }_{xy}⟩$被称为贝尔态（EPR态/EPR对）.

记忆：$|{\beta }_{x,y}⟩\equiv \frac{|0,y⟩+(-1{)}^x|1,\bar{y}⟩}{\sqrt{2}}$

量子隐形传态

概念：在发送方和接收方之间没有量子通信信道连接的情况下，进行量子态的传输

任务：利用双方各持有的EPR对中的一个量子比特，传递一个单量子比特$|\psi ⟩$

上方两条连线为Alice系统，持有EPR对中的一个以及待传输量子比特$|\psi ⟩$，下方连线为Bob系统，持有EPR对的另一个

传输对象：$|\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩$（$\alpha ,\beta$未知）

输入态$|{\psi }_0⟩=|\psi ⟩|{\beta }_{00}⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}[\alpha |0⟩(|00⟩+|11⟩)+\beta |1⟩(|00⟩+|11⟩)]$

Alice将她的态传入受控非门，得$|{\psi }_1⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}[\alpha |0⟩(|00⟩+|11⟩)+\beta |1⟩(|10⟩+|01⟩)]$

她随即将第一个量子比特送入阿达玛门，得$|{\psi }_2⟩=\frac{1}{2}[\alpha (|0⟩+|1⟩)(|00⟩+|11⟩)+\beta (|0⟩-|1⟩)(|10⟩+|01⟩)]$

整理得：（将Alice的两个量子比特提出，便于测量）
$$|{\psi }_2⟩=\frac{1}{2}[|00⟩(\alpha |0⟩+\beta |1⟩)+|01⟩(\alpha |1⟩+\beta |0⟩)+|10⟩(\alpha |0⟩-\beta |1⟩)+|11⟩(\alpha |1⟩-\beta |0⟩)]$$
随后得到测量结果，在给定测量结果$xy$的情况下，我们可以读出Bob在此次测量后的状态$|{\psi }_3(xy)⟩$：
$$\begin{gathered} 00\mapsto |{\psi }_3(00)⟩\equiv \alpha |0⟩+\beta |1⟩ \\ 01\mapsto |{\psi }_3(01)⟩\equiv \alpha |1⟩+\beta |0⟩ \\ 10\mapsto |{\psi }_3(10)⟩\equiv \alpha |0⟩-\beta |1⟩ \\ 11\mapsto |{\psi }_3(11)⟩\equiv \alpha |1⟩-\beta |0⟩ \end{gathered}$$

Bob根据Alice告知的测量结果对他的态进行修正（测量结果第二位为1时需交换$|0⟩,|1⟩$（X门），在此基础上，第一位为1时需改变$|1⟩$符号（Z门））：$|{\psi }_4⟩=Z^{M_1}{X}^{M_2}|{\psi }_3⟩$

电路图代表时间顺序，而矩阵乘法顺序与之相反

特性：

1. 不允许超光速传递量子态：没有经典通信，量子隐形传态无法传递任何信息；而经典信道受到光速的限制
2. 无法拷贝量子态：过程完成后，仅目标量子比特处于状态$|\psi ⟩$，而第一个量子比特随测量消失于计算基中

意义：强调了量子力学中不同资源的互换性：一个共享EPR+2经典量子比特$\stackrel{构成}{⟶}$至少等于一个量子比特通信的资源

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