python递归实现乘法_递归课程（Python实现）

什么是递归

简单地说，就是如果在函数中存在着调用函数本身的情况，这种现象就叫递归。

进一步剖析「递归」，先有「递」再有「归」，「递」的意思是将问题拆解成子问题来解决， 子问题再拆解成子子问题，...，直到被拆解的子问题无需再拆分成更细的子问题(即可以求解)，「归」是说最小的子问题解决了，那么它的上一层子问题也就解决了，上一层的子问题解决了，上上层子问题自然也就解决了,....,直到最开始的问题解决,文字说可能有点抽象，那我们就以阶层 f(6) 为例来看下它的「递」和「归」。

递归算法通用解决思路

我们在上一节仔细剖析了什么是递归，可以发现递归有以下两个特点

1. 一个问题可以分解成具有相同解决思路的子问题，子子问题，换句话说这些问题都能调用同一个函数

2. 经过层层分解的子问题最后一定是有一个不能再分解的固定值的(即终止条件),如果没有的话,就无穷无尽地分解子问题了，问题显然是无解的。

所以解递归题的关键在于我们首先需要根据以上递归的两个特点判断题目是否可以用递归来解。

经过判断可以用递归后，接下来我们就来看看用递归解题的基本套路(四步曲)：

1.先定义一个函数，明确这个函数的功能，由于递归的特点是问题和子问题都会调用函数自身，所以这个函数的功能一旦确定了， 之后只要找寻问题与子问题的递归关系即可

2.接下来寻找问题与子问题间的关系(即递推公式)，这样由于问题与子问题具有相同解决思路，只要子问题调用步骤 1 定义好的函数，问题即可解决。所谓的关系最好能用一个公式表示出来，比如 f(n) = n * f(n-) 这样，如果暂时无法得出明确的公式，用伪代码表示也是可以的, 发现递推关系后，要寻找最终不可再分解的子问题的解，即(临界条件)，确保子问题不会无限分解下去。由于第一步我们已经定义了这个函数的功能，所以当问题拆分成子问题时，子问题可以调用步骤 1 定义的函数，符合递归的条件(函数里调用自身)

3.将第二步的递推公式用代码表示出来补充到步骤 1 定义的函数中

4.最后也是很关键的一步，根据问题与子问题的关系，推导出时间复杂度,如果发现递归时间复杂度不可接受，则需转换思路对其进行改造，看下是否有更靠谱的解法

实战演练

输入一个正整数n，输出n!的值。其中n!=123*…*n，即求阶乘。

套用上面我们说的递归四步解题套路来看看怎么解

1.定义这个函数，明确这个函数的功能，我们知道这个函数的功能是求 n 的阶乘, 之后求 n-1, n-2 的阶乘就可以调用此函数了

def factorial(n):

2. 寻找问题与子问题的关系 阶乘的关系比较简单， 我们以 f(n) 来表示 n 的阶乘， 显然 f(n) = n * f(n - 1), 同时临界条件是 f(1) = 1,即：

3. 将第二步的递推公式用代码表示出来补充到步骤 1 定义的函数中。

def factorial(n) :

// 第二步的临界条件

if (n < =1) :

return 1;

// 第二步的递推公式

return n * factorial(n-1)

4.求时间复杂度 由于 f(n) = n * f(n-1) = n * (n-1) * .... * f(1),总共作了 n 次乘法，所以时间复杂度为 n。

测试题：

一只青蛙可以一次跳 1 级台阶或者一次跳 2 级台阶，例如：

跳上第 1 级台阶只有一种跳法：直接跳 1 级即可。 跳上第 2 级台阶有两种跳法：每次跳 1 级，跳两次；或者一次跳 2 级。 问要跳上第 n 级台阶有多少种跳法？