青蛙跳台阶问题

题目：一只青蛙一次可以跳1级台阶，也可以跳2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

本文提供三种解法：

1）递归求解：

青蛙每跳一次前，有这样三种情况：
（1）只剩1级或0级台阶了，只能跳一步或者无法再跳了，那么这条路也走到了终点，走法的种类数可以加1；
（2）可以走2级台阶；
（3）可以走1级台阶。
于是利用python实现递归方法求解：

def climbStairs(n):
    if n==1:
        return 1
    elif n==2:
        return 2
    else:
        return climbStairs(n-1)+climbStairs(n-2)

if __name__=="__main__":
    a=climbStairs(5)
    print a

2）数学归纳法求解：

如果n=1，总步数f(n)=1；如果n=2，总步数f(n)=2。

另一方面，当n>=3，当前还剩的步数f(n)，如果接下去跳一步，那么还剩下的步数是f(n-1)；如果接下去跳两步，那么还剩下的步数是f(n-2)，故：f(n)=f(n-1)+f(n-2)。

现设s3=f(n)，s2=f(n-2)，s1=f(n-1)，从时间、空间复杂度来说，这也是最简单的一种方法。

利用python实现数学归纳法求解：

class solution:
    def climbStairs(self,n):
        if n==1 or n==2 :
            return n
        a=1;b=2;c=3
        for i in range(3,n+1):
            c=a+b;a=b;b=c
        return c

res=solution()
a=res.climbStairs(5)
print a   

3）概率论思路求解：

首先把问题抽象成简单的数学模型，设2步台阶跳了x次，1步台阶跳了y次，那么：

2x + y = n

于是，当 x = i ，可知 x >= 0 ，且 x < n/2 （向下取整），设某时刻的 x = i ，那么有 y = n – 2 * x ，于是，总共需要走 z = i + n – 2 * x 步。

这时，问题即转化为：

z步骤中，有x个两步，y个一步，相当于z个空当，由x、y去填充，那么不同填充方法的数目符合概率公式：

C(x,z) = z! / ((z-x)!x!)

即从排列z中取其中x个数的种类，x内部无序。

利用python实现概率论思路求解：

class solution(object):
    def climbStairs(self,n):
        def fact(n):
            result=1
            for i in range(1,n+1):
                result*=i
            return result
        total=0
        for i in range(n/2+1):
            total+=fact(i+n-2*i)/fact(i)*fact(n-2*i)
        return total

res=solution()
a=res.climbStairs(5)
print a

最后，三种方法得到的结果：

================= RESTART: I:\python_DataStructure\青蛙跳.py =================
14547
>>> 

注：

跳到第N级话，

可以先跳N-1级，再跳1级；

也可以先跳N-2级，再跳2级。

所以f(n)=f(n-1)+f(n-2)，就是斐波那契数列。

既然都知道是斐波拉契数列了，那就给个通式吧：

F(N) = ((5+5^(1/2))/10)*(((1+5^(1/2))/2)^n) + ((5-5^(1/2))/10)*(((1-5^(1/2))/2)^n)

其中：N >= 1

时间复杂度O(1)。