折纸：2016年文数全国卷B题19

折纸：2016年文数全国卷B题19

分值：12分

如图，菱形 的对角线 与 交于点 ，点 分别在 上， 交 于点 . 将 沿 折到 的位置.

（I）证明∶;

（Ⅱ）若 ，求五棱锥 的体积.

2016年文数全国卷B

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【解答问题I】

∵ 是菱形，

∴ ,

又∵ ,

∴

∴

依题意可知：,

∴ .

∵ ,

∴ . 证明完毕.

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【解答问题Ⅱ】

∵ 是菱形，∴ 相互垂直平分；

因5

根据勾股定理可得：

又∵

∴

∵ ,

∴

∴ （勾股定理的逆定理）

∵ ,

∴ 平面

又∵ 平面 ,

∴ .

∵ ,

∴ 平面 ,

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【提炼与提高】

问题1的解答用到了这样一条定理：

「如果空间中的一条直线与两条平行直线中的一条垂直，则必定与另外一条垂直。」

参见：立体几何入门：基础性问题及答案

解答问题2的要点在于：

（1）应用「勾股定理的逆定理」，推出垂直关系：;

（2）应用垂直关系的相互转化：由线线垂直推出线面垂直，再由线面垂直推出线线垂直，最后推出新的线面垂直；

五棱锥 中， 是底面 上的高。这点是比较容易看出来的。关键是：看出来后，还要说清楚，也就是用上面这两条来论证。假如在推出 平面 后就匆忙地出结果，那就要丢分。这里存在一个【易错点】，需要留意一下。

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