人工智能中的线性代数与矩阵论学习秘诀之知识体系
很多人学完线性代数、矩阵论两门课程后，完全不知道自己学了些什么，也不知道学这两门课程有什么用，心中满是疑惑。首先线性代数和矩阵论属于代数学范畴，既然如此，让我们先回忆一下从小学到高中是如何学习代数的。以实数为例，先了解什么是实数，然后学习实数的基本运算，接下来将多个实数打包在一起构成集合并研究不同集合的性质和变换。现在将实数换成向量，按照类似的步骤走一遍这个流程，我们将得到：“先了解什么是向量，然后学习向量的基本运算，接下来将多个向量组合在一起构成矩阵并研究不同矩阵的性质和变换。” 不知你发现了没有，是不是相似的“配方”、熟悉的“味道”？其实，你可以将向量看作一种特殊的数据类型，只不过是比实数更为复杂的数据类型，那么从这个角度看，研究向量和研究实数的过程就具有相似性。简单来说，学习线性代数和矩阵论的主要目的之一就是为了研究向量和矩阵的基本概念、运算方法、性质、变换等内容。此外，引入向量和矩阵的另外一个现实的需求是为了快速地求解线性方程组。
为什么AI离不开线性代数和矩阵论？ 我们可以用一些具体的例子来说明。特征是某一物体所具有的属性值集合。例如，可以用姓名、学号、年龄、籍贯、性别、专业、身高、身份证号等属性来描述某一位具体的学生。这些属性的值所组成的向量则被称为该学生对应的特征向量。这样一个学生实体便与一个特征向量一一对应。即，知道这个学生就知道其对应的特征向量；反过来，知道一个特征向量便知道其对应的学生。有时，也会用特征向量所组成的矩阵来描述实体集合，此时该矩阵被称为特征矩阵。引入特征向量或特征矩阵的目的是为了将客观物理世界中的实体进行数字化，以方便后续的数学建模和分析。例如，人脸识别系统的第一步就是先对人脸图像分别做特征提取，从而将一张张人脸图像转换为一个个对应的特征向量，以便后续训练相应的人脸识别模型。采用矩阵进行分析计算的另外一大优势是可以在编程时避免使用循环，从而使程序更加简洁，通常情形下还可以节约程序运行的时间成本。例如要对100张人脸照片进行识别，可以利用训练好的人脸识别模型分别对这100张照片依次做识别，编程时需要写一个循环进行100次重复操作。如果将这100张人脸照片对应的特征向量拼合为一个矩阵，就可以利用人脸识别模型对这个矩阵进行处理，一次即可对100张人脸照片进行识别，避免了编程时使用循环来处理，同时也减少了程序运行的时间。由上述实例很容易得出：如果将一个数据样本看作一个向量，一个数据集包含多个样本，则一个数据集可以由矩阵来表示；对于数据集的训练和测试则等价于对矩阵进行运算。由此可见，线性代数和矩阵论在AI理论中的地位是多么重要。
线性代数和矩阵论的知识繁多，那么学习AI需要学习线性代数和矩阵论中的哪些知识呢？学习AI必须知道的线性代数和矩阵论知识如图 3-7所示。首先，必须理解向量和矩阵的基本概念，知道如何用数学符号表示向量和矩阵；接下来需要了解矩阵的基本运算，包括矩阵加减法、数与矩阵相乘、矩阵与矩阵相乘、矩阵的转置、方阵的行列式、共轭矩阵、逆矩阵等。矩阵的基本变换则需要掌握行交换、列交换、转置、分块、对称等基本变换。会将线性方程组的求解转换为矩阵变换问题，理解矩阵的秩与线性方程组解的关系。理解维数、基、坐标、线性空间、欧氏空间、黎曼空间、解空间、范数等基本概念。特别是范数的基本概念和计算方法，它是机器学习中的一个核心概念。在构建机器学习模型时，为了防止模型过拟合，往往会在损失函数中加入一个正则项，而这个正则项通常用范数来表示。了解常见的特殊矩阵，例如单位矩阵、对称矩阵、正交矩阵等。掌握导出Jacobian矩阵和Hessian矩阵的方法，了解其应用。Jacobian矩阵的一个核心应用是：已知两个随机变量之间的函数关系，且已知其中一个变量的统计分布模型，则可以利用Jacobian矩阵导出另外一个随机变量的统计分布模型。这意味着Jacobian矩阵是连接两个已知关系的随机变量之间的桥梁。Hessian矩阵的一个常见应用是：将一个多元函数对一个向量进行微分时则需要用到Hessian矩阵，这一方法在最优化理论中经常用到。掌握求矩阵特征值及其特征向量的基本方法，深刻理解特征值和特征向量之间的关系。特征值与特征向量关系的一个最典型的应用是用来做主成分分析，其核心思想是求解样本的协方差矩阵的单位特征向量及其对应的特征值，然后比较特征值的大小来确定样本的主成分，即特征值越大对应的成分越重要。熟练掌握矩阵分解的基本方法并理解其应用。常见的矩阵分解的方法包括：三角分解、正交分解、满秩分解、奇异值分解等。矩阵分解的一些典型应用包括利用正交分解产生正交向量、利用奇异值分解实现数据降维等。理解二次型矩阵以及正定、负定、半正定、不定矩阵的基本概念，掌握其判定方法。在深度学习没有横空出世的时候，核学习方法在机器学习江湖中独步天下。核学习方法的一个基本概念就是核函数，核函数的构造就用到了半正定矩阵判定的相关理论。了解向量、矩阵的正交与投影方法。掌握张量的基本概念与计算。张量是深度学习中的一个核心概念，必须好好掌握。
图 3-7 学习AI必须知道的线性代数和矩阵论知识
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