树与二叉树堆：二叉树

二叉树的概念：

二叉树是树的一种，二叉树是一个节点，最多只有两个子节点，二叉树是一个特殊的树二叉树的度最大为2

从上图可得一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

1. 或者为空
2. 由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

 二叉树的分类：

• 二叉树分为完全二叉树和满二叉树。

满二叉树：

在二叉树的基础上，在规定的层数中，每一层都保持了最大的度，或者说每一层都是排满了结点。

                     

• 如上图所示，在满二叉树中，结点的个数和二叉树的高度是一个等差数列的关系。 

 完全二叉树：

 满二叉树的演变如果是H的层数，那么H-1层是满的，而最后一层不一定是满的，如下图所示。

                                  

错误案例：

 

完全二叉树的高度和结点关系：

• 由于完全二叉树的最后一层是不确定的，所以完全二叉树的结点个数其实是一个动态区间关系
• 而假设完全二叉树的高度是h，那么h-1层的结点个数和满二叉树的结点个数算法一致
• 而最后一层的结点个数根据推论是在1到 2^(h-1)之间
• 所以完全二叉树的结点个数和高度关系是：[:2^(h-1), 2^h-1]
• 完全二叉树的结点个数也是[:2^(h-1), 2^h-1]

二叉树的存储方式：

数组存储： 

                                                    

如图所示，数组存储是一层一层的进行存储，先左后右先上后下，而数组存储只能适用于满二叉树。 

如果存储到数组中，怎么找到孩子结点对于的下标呢？

•  左孩子结点的下标 = 父亲结点的下标  *  2 +1  ，右孩子结点下标 = 父亲结点的下标  *  2 +2

知道孩子怎么算父亲节点下标？

• （孩子结点的下标-1 ） /   2 

链表存储：

二叉树链式存储的意义——二叉搜索树

                           

如图所示，假设需要搜索比20大的数字，则需要堆左右子树的根节点进行比较，从而进行搜索，而搜索的时间复杂度也仅仅是这颗树的高度。

而，二叉搜索树到最后会进而紧接为AVL树或者红黑树

 

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