【剑指offer-C++】JZ43：整数中1出现的次数(从1到n整数中1出现的次数)

题目描述

描述：输入一个整数 n ，求 1～n 这 n 个整数的十进制表示中 1 出现的次数
例如， 1~13 中包含 1 的数字有 1 、 10 、 11 、 12 、 13 因此共出现 6 次。

注意：11 这种情况算两次。

数据范围： 1≤n≤30000 。

进阶：空间复杂度 O(1) ，时间复杂度 O(lognn) 。

输入：13
返回值：6

输入：0
返回值：0

解题思路

整数中1出现的次数(从1到n整数中1出现的次数)：最直观的想法是，遍历1到n，然后将每一个数转换为字符串，再遍历字符串求字符1出现的次数，依次累加即可得到结果。其中，之所以将数字转换为字符串，是为了利用字符串的长度函数来求长度，避免整数位数不确定的情况。

int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) 
{
    string str;
    int res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        str=to_string(i);
        for(int j=0;j<str.size();j++)
        {
           if(str[j]=='1')
              res++;
        }
     }
     return res;
}

优化：数位dp，即按位统计当前位为1的个数。使用一个变量base表示当前位是个位、十位、百位还是更高位，初始base等于1即表示个位，使用一个变量res表示1的个数。首先将数字n分为三个部分，分别是当前位cur，其计算方式为cur=n/base%10，高位a，其计算方式为a=n/base/10，低位b，其计算方式为b=n%base。其中计算当前位cur为1的情况下数字的个数一共分为三种情况：第一种是cur=0的情况，如果要使得当前位为1，那必须向前借位，则高位范围为0~(a-1)，低位范围为0~(m个9)，其中m对应base的位数，比如base等于1则表示个位，于是低位范围为0，个数为1，比如base等于10则表示十位，于是低位范围为0~9，个数为10，比如base等于100则表示百位，于是低位范围为0~99，个数为100，以此类推，于是当前位为1的数字个数总共为a*base个；第二种是cur=1的情况，即当前位已经为1，则分为两种情况，一是高位为a，则低位范围是0~b，一共有1*(b+1)个，二是高位范围为0~(a-1)，低位范围为0~(m个9)，这种情况同上，一共有a*base个，则总共为a*base+(b+1)；第三种是cur=2~9的情况，则使得当前位为1，高位范围为0~a，低位范围为0~(m个9)，总共为(a+1)*base个。循环条件是base小于等于n，具体代码以及注释如下。

int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) 
{
    int res=0;  //表示1的个数
    int base=1; //表示当前位
    int cur; //表示当前位
    int a;   //表示高位
    int b;   //表示低位
    //base不能超过n 等于是可以的
    while(base<=n)
    {
       cur=n/base%10;
       a=n/base/10;
       b=n%base;
       //cur=0 借位使得当前为1 则高位范围为0~(a-1) 低位为0~9(m个9) m对应base的位数 总共为a*base
       if(cur==0)
          res+=a*base;
       //cur=1 当前位为1 则分为两部分 一种情况是高位范围为0~(a-1) 低位为0~9(m个9) m对应base的位数 总共为a*base 另一种情况是高位为a 低位为0~b 总共为b+1
       else if(cur==1)
          res+=a*base+(b+1);
       //cur=2~9 使得当前为1 则高位范围为0~a 低位为0~9(m个9) m对应base的位数 总共为(a+1)*base
       else
          res+=(a+1)*base;
       //向前进一位
       base*=10; 
     }
     return res;
}