一、题目
LeetCode-169. 多数元素
链接：https://leetcode-cn.com/problems/majority-element/
难度：简单
给定一个大小为 n 的数组，找到其中的多数元素。多数元素是指在数组中出现次数 大于n/2的元素。
你可以假设数组是非空的，并且给定的数组总是存在多数元素。
示例 1：
输入：[3,2,3]
输出：3
示例 2：
输入：[2,2,1,1,1,2,2]
输出：2
进阶：
- 尝试设计时间复杂度为 O(n)、空间复杂度为 O(1) 的算法解决此问题。
二、解题思路
本题最先想到的方法就是暴力枚举了，然后统计每个元素出现的次数。但是该方法的时间复杂度是 O(n^2)，不符合本题的要求。
本题虽然难度为简单，但是在不严格限制时间复杂度的情况下有很多解法。
三、排序法
我们知道出现次数最多的元素个数大于n/2。如果把数组排序后，那么n/2处的元素一定是众数。
c++
class Solution {
public:
int majorityElement(vector& nums) {
sort(nums.begin(), nums.end());
return nums[nums.size() / 2];
}
};
PHP
class Solution {
/**
* @param Integer[] $nums
* @return Integer
*/
function majorityElement($nums) {
sort($nums);
$index = intval(count($nums)/2);
return $nums[$index];
}
}
JavaScript
/**
* @param {number[]} nums
* @return {number}
*/
var majorityElement = function(nums) {
nums.sort((a,b) =>{
return a -b;
})
let index = Math.floor(nums.length/2);
return nums[index];
};
- 时间复杂度：O(nlog n)。将数组排序的时间复杂度为 O(nlog n)。
- 空间复杂度：O(log n)。如果使用语言自带的排序算法，需要使用 O(log n)的栈空间。如果自己编写堆排序，则只需要使用 O(1) 的额外空间。
四、计数法
利用哈希映射（HashMap）来存储每个元素以及出现的次数。对于哈希映射中的每个键值对，键表示一个元素，值表示该元素出现的次数。
我们用一个循环遍历数组 nums 并将数组中的每个元素加入哈希映射中。在循环的同时，如果当前元素出现的次数大于n/2即为众数。
c++
class Solution {
public:
int majorityElement(vector& nums) {
unordered_map map;
for(int num:nums){
++map[num];
if(map[num] > nums.size()/2) return num;
}
return -1;
}
};
- 时间复杂度：O(n)。
- 空间复杂度：O(n)。
五、随机数
由于众数出现的概率大于50%，我们随机挑选一个下标，检查它是否是众数，如果是就返回，否则继续随机挑选。
c++
class Solution {
public:
int majorityElement(vector& nums) {
while (true) {
//随机一个候选众数
int candidate = nums[rand() % nums.size()];
//统计该数出现次数
int count = 0;
for (int num : nums)
if (num == candidate)
++count;
//检查结果
if (count > nums.size() / 2)
return candidate;
}
return -1;
}
};
复杂度分析
理论上最坏情况下的时间复杂度为O(∞)，因为如果我们的运气很差，这个算法会一直找不到众数，随机挑选无穷多次，所以最坏时间复杂度是没有上限的。然而，运行的期望时间是线性的。
当众数恰好占据数组的一半时，第一次随机我们有1/2的概率找到众数，如果没有找到，则第二次随机时，包含上一次我们有1/4的概率找到众数，以此类推。因此期望的次数为i*1/2i的和，可以计算出这个和为2，说明期望的随机次数是常数。每一次随机后，我们需要 O(n)的时间判断这个数是否为众数，因此期望的时间复杂度为 O(n)。
作者：LeetCode-Solution链接：https://leetcode-cn.com/problems/majority-element/solution/duo-shu-yuan-su-by-leetcode-solution/
- 时间复杂度：O(n)。
- 空间复杂度：O(1)。
六、Moore投票(最优解)
摩尔投票法，投我++，不投--。
把nums[0]作为候选人cand_num，候选人初始化票数count为1。
当遇到与cand_num相同的数，则票数count++，否则票数count--。
当票数count为0时，更换候选人，并将票数count重置为1。
遍历完数组后，cand_num即为最终答案。
为什么呢？这就相当于每个“多数元素”和其他元素两两相互抵消，抵消到最后肯定还剩余至少1个“多数元素”。
c++
class Solution {
public:
int majorityElement(vector& nums) {
int candidate = 0, count = 0;
for(int num : nums)
{
if(count == 0) candidate = num;
if(num == candidate) count++;
if(num != candidate) count--;
}
return candidate;
}
};
PHP
class Solution {
/**
* @param Integer[] $nums
* @return Integer
*/
function majorityElement($nums) {
$candidate = 0;
$count = 0;
foreach($nums as $key => $value){
if($count == 0) $candidate = $value;
if($value == $candidate){
$count++;
}else{
$count--;
}
}
return $candidate;
}
}
JavaScript
/**
* @param {number[]} nums
* @return {number}
*/
var majorityElement = function(nums) {
var candidate = 0, count = 0;
for(let i = 0; i < nums.length; i++){
if(count == 0) candidate = nums[i];
if(nums[i] == candidate) count++;
if(nums[i] != candidate) count--;
}
return candidate;
};
- 时间复杂度：O(n)O(n)。Boyer-Moore 算法只对数组进行了一次遍历。
- 空间复杂度：O(1)O(1)。Boyer-Moore 算法只需要常数级别的额外空间。