函数与导数大题：2019年理数全国卷B题20

2019年理数全国卷B题20

已知函数

（1）讨论 的单调性，并证明有且仅有两个零点;

（2）设 是 的一个零点，证明曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线.

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【解答第1问】

函数 的定义域为 .

单调递增；

单调递增；

∵ 在区间 上单调递增，,

∴ 在区间 有且仅有一个零点；

∵ 在区间 上单调递增，,

∴ 在区间 有且仅有一个零点；

综上所述，函数 在定义域内有且仅有两个零点.

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【解答第2问】

∵ 是 的一个零点，则

令 , 则

点 是曲线 上的点.

直线 的斜率为

曲线 在点 处的切线的斜率为

曲线 在点 处的切线斜率为 .

所以，直线 同时是 曲线 与曲线 的切线，切点分别为 和 .

证明完毕.

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【提炼与提高】

本题难度中等，涉及几方面的知识：

求导的方法和公式

根据导数判断函数的单调性

函数的零点定理

函数图像的切线与其导函数的关系

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【回归教材】

『函数零点存在定理』是一个重要的定理. 《高中数学：必修一》中介绍了这一定理，并有配套习题.

参见下文：

从课本到高考的高中数学笔记：函数零点存在定理

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【相关考题】