acwing算法基础之数学知识--Nim游戏和集合Nim游戏

1 基础知识

（一）
Nim游戏：$n$堆物品，每堆有$a_i$个，两个玩家轮流取走任意一堆的任意个物品，但不能不取。取走最后一个物品的人获胜。

结论：如果这n个数异或之和为0，则先手必败，否则先手必胜。
代码表示为，

#include 

using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    int res = 0;
    while (n--) {
        int x;
        cin >> x;
        res = res ^ x;
    }
    
    if (res) puts("Yes");
    else puts("No");
    
    return 0;
}

（二）
集合Nim游戏：在Nim游戏的基础上，对每次取走的石子做了限制，每次取走的石子数必须在集合$S$内。判断是否先手必胜。

抽象建模为，
有向图游戏和SG函数：在一个有向无环图中，只有一个起点，上面有一个棋子，两个玩家轮流沿有向边推动棋子，不能走的玩家判负。

定义mex函数的值为，不属于集合S中的最小非负整数，即：
$$mex(S)=min\{x\}(x\notin S,x\in N)$$
例如mex({0,2,3}) = 1, mex({1,2}) = 0。

对于状态$x$和它的所有$k$个后继状态$y_1,y_2,\cdots ,y_k$，定义SG函数：
$$SG(x)=mex\{SG(y_1),SG(y_2),\cdots ,SG(y_k)\}$$

而对于由n个有向图组成的组合游戏，设它们的起点分别为$s_1,s_2,\cdots ,s_n$，则有定理：当且仅当这$n$个数$SG(s_1),SG(s_2),\cdots ,SG(s_n)$的异或和不为0时，这个游戏是先手必胜的，否则，是先手必败的。

C++代码如下，

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 110, M = 1e4 +10;
int n, m;
int s[N]; //每次可以取的石子数目
int f[M]; //这堆有x个石子，求sg[x]的值

int sg(int x) {
    if (f[x] != -1) return f[x];
    
    unordered_set<int> S;//x能走到的结点的sg函数值
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if (x - s[i] >= 0) S.insert(sg(x-s[i]));
    }
    
    for (int i = 0; ; ++i) {
        if (S.count(i) == 0) {
            f[x] = i;
            break;
        }
    }
    return f[x];
}

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> s[i];
    
    int res = 0;
    memset(f, -1, sizeof f);
    cin >> m;
    while (m--) {
        int x;
        cin >> x;
        res ^= sg(x);
    }
    
    if (res) puts("Yes");
    else puts("No");
    
    return 0;
}

2 模板

暂无。。。

3 工程化

题目1：拆分Nim游戏，取走一堆，放回两堆规模更小的石子。

解题思路：重点在于如何确认某一堆的sg值，这样考虑遍历两堆规模更小的石子，就是它的下一步状态，求得它们的sg值，进行mex操作，即可得到这堆石子的sg值。

C++代码如下，

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 110;

int n;
int f[N]; //sg值

int sg(int x) {
    if (f[x] != -1) return f[x];
    
    //x可以走到的状态的sg值
    unordered_set<int> S;
    for (int i = 0; i < x; ++i) {
        for (int j = 0; j <= i; ++j) {
            S.insert(sg(i) ^ sg(j));
        }
    }
    
    //mex操作
    for (int i = 0; ; ++i) {
        if (!S.count(i)) {
            return f[x] = i;
        }
    }
}

int main() {
    memset(f, -1, sizeof f);
    
    cin >> n;
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int x;
        cin >> x;
        res ^= sg(x);
    }
    
    if (res) puts("Yes");
    else puts("No");
    
    return 0;
}