力扣第42题：接雨水——单调栈

LeetCode第42题:https://leetcode-cn.com/problems/trapping-rain-water/

• 给定 n 个非负整数表示每个宽度为 1 的柱子的高度图，计算按此排列的柱子，下雨之后能接多少雨水。
• 输入：height = [0,1,0,2,1,0,1,3,2,1,2,1]
• 输出：6
• 解释：上面是由数组 [0,1,0,2,1,0,1,3,2,1,2,1] 表示的高度图，在这种情况下，可以接 6 个单位的雨水（蓝色部分表示雨水）。

思路：首先，我们先明确可以接多少雨水是怎么计算出来的？有横竖两种方向可以看。如下图所示：
横向：

纵向：

这里以纵向为例：
第0列可以接得的雨水量为：0 （因为左边没有柱子比第0列的柱子高）
第1列可以接得的雨水量为：0 （因为左边没有柱子比第1列的柱子高）
第2列可以接得的雨水量为：1 （左边第1列的柱子比第2列高，右边第3列的柱子比第2列的柱子高，于 是第1，2，3列形成宽为1高也为1的凹槽）
第3列可以接得的雨水量为：0 （因为左边没有柱子比第3列的柱子高）
对于第4、5、6列，很明显能形成凹槽，于是我们可以按列分割这个凹槽如下：
第4列可以接得的雨水量为：1
第5列可以接得的雨水量为：2
第6列可以接得的雨水量为：1
第7列可以接得的雨水量为：0 （因为左边没有柱子比第7列的柱子高， 右边没有柱子比第7列的柱子高）
第8列可以接得的雨水量为：0 （右边没有柱子比第8列的柱子高）
第9列可以接得的雨水量为：1
第10列可以接得的雨水量为：0 （右边没有柱子比第10列的柱子高）
第11列可以接得的雨水量为：0 （因为右边没有柱子比第11列的柱子高）
从上面我们可以找到一些规律：

• 我们以列为单位去分割总任务，最后要求总的接水量，其实就是把每一列的接水量加起来的总和。
• 要想要能接水，那么左边的柱子高度必须严格大于该列的高度，右边的柱子也必须严格大于该列高度（即：左右与该列要能形成凹槽）。

我们可以使用单调栈。

• 确定栈的顺序。
  我们首先要确定栈内元素是递增还是递减。根据上面两个规律，我们可以得出栈内元素是递减（从栈底到栈顶）。
• 确定存放内容
  这里存放元素下标比较方便，因为我们需要计算凹槽宽高，而元素我们可以直接使用下标访问得到。
• 处理逻辑
  此时栈内是递减的，下一个将要进站的元素是下标为6的元素（高度为1），如果它直接进栈就会破坏单调栈，因此，需要元素出栈，那么下标为5的元素就要出栈，在它出栈的同时，我们可以直接计算出这个出栈的元素可以收集的雨水量，但是有一个注意点是，在这里每个小凹槽按行收集比按列收集要方便。
  首先，我们要记得我们维护的栈是一个非递增的栈。也就是说只有将要进栈的元素严格大于栈顶元素我们不会让其进栈。假设将要进栈的元素比栈顶元素大，那么我们会选择栈顶元素出栈，计算其接水量。换句话说，这个将要进栈的元素就成为了右挡板
  
  将要进栈的元素为第7号，此时栈顶是第6号元素，将要进栈元素比栈顶元素大，那么第7号元素就成为了第6号元素的右挡板，此时我们要找第6号的左挡板，其左挡板一定是在栈内元素中的。此时，栈内元素一定是大于等于第6号元素的。我们可以假设出栈后的栈顶是其左挡板，那么其接水量就为（(将要进栈元素下标 - 出栈后栈顶元素下标） - 1) ×(min(左挡板， 右挡板) - 出栈元素）。即(（7-4）-1×（ min(1, 3) - 1） = 0。也就是说4号元素作为左挡板不能接水（必定是因为左挡板和中间高度相同，这是由于单调栈的特性决定的），那么我们继续出栈，这过程也就是找寻左挡板的过程。如上面这幅图所示，我们找到第3号元素就是其左挡板，可以计算出其接水量。

总结

• 我们其实在总体遍历的过程中是按列遍历的，然后不断找到可以接水的凹槽，对于每个凹槽我们其实是按行的方式去计算出其盛水量的，我们在出栈的过程中其实是不断找寻左挡板的过程，这过程中会遇见接不了水的情况（我们也可以认为接水量为0，依旧把他加入最后结果中）。
• 代码

int trap(vector<int>& height) {
    stack<int> st; //单调栈内存放元素下标
    st.push(0);  //放入第一个元素
    int sum = 0;
    for (int i = 1; i < height.size(); ++i) {
        if (st.empty() || height[i] <= height[st.top()]) {
            st.push(i);
        }
        else {
            while (!st.empty() && height[i] > height[st.top()]) {
                int index = st.top(); //栈顶元素出栈并记录下标
                st.pop();
                if (!st.empty()) {
                    int w = i - st.top() - 1;           //凹槽宽
                    int h = min(height[i], height[st.top()]) - height[index]; //凹槽高
                    sum += w * h;       //累加所有接水量
                }
            }
        }
        st.push(i);
    }
    return sum;
}