逆矩阵相关性质与例题

1.方阵的行列式:就是将方阵中的每一个元素转换至行列式中。

        1.性质一:转置方阵的行列式等于转置前的行列式。(对标性质:行列式与它的转置行列式相等)

        2.性质二:|ka|=|a|*k的n次方,n为方阵阶数。

逆矩阵相关性质与例题_第1张图片

2.伴随矩阵(只有方阵有):计算矩阵的每一个元素的代数余子式,注意-1乘行标加列标,然后每一行的代数余子式按列排放构成矩阵(按行求按列放)(矩阵A的伴随矩阵为A*)

        1.AA*=A*A=|A|E(对标性质:某行乘本行代数余子式为行列式的值,乘其他行的等于0)

单位矩阵:主对角线元素都为1其余都为0的方阵

        2.任给方阵都有伴随矩阵

        3.|A*A|=|A|*|A*|=|A|的n次方(n为阶数),也可写作|A*|=|A|的n-1次方,为左右两边约去A的行列式,一般不能除以行列式,但此处例外

        证明过程:逆矩阵相关性质与例题_第2张图片

        

3.逆矩阵:n阶方阵A,存在n阶方阵B使得AB=BA=E,则B为A的逆矩阵,逆矩阵的表示为A的-1次方

        1.不是所有的方阵都可逆,比如0矩阵

        2.方阵的逆矩阵是为一的,证明过程:逆矩阵相关性质与例题_第3张图片

        3.A可逆,A的逆矩阵可逆且它的逆矩阵为A(证明用定义然后代换)

        4.如果要验证逆矩阵,需要将两个矩阵相乘=E然后配凑

        5.A,B都可逆,则AB可逆,且AB的逆矩阵为B的逆矩阵乘A的逆矩阵,注意顺序,证明时写定义式并消去B*B的逆矩阵,当多个矩阵相乘也可以用(类似AB的转置等于B的转置乘A的转置)

        6.A可逆其转置也可逆,且A转置的逆等于A逆的转置(转置与逆可以交换顺序)

        7.k不等于0,那么kA的逆矩阵等于k分之一乘A的逆矩阵

        8,A可逆,A逆的行列式等于A的行列式分之一

        9.A可逆,A*可逆,等于A的行列式分之一乘A

4.方阵可逆的条件:行列式不等于0,求法为A的行列式分之一乘A的伴随矩阵,同理A的伴随矩阵等于A的行列式乘A的逆矩阵,运用此求法去代替逆矩阵进行运算时注意A不能为0矩阵

5.做题时只需使用AB=E即可证明A可逆且A的逆矩阵为B

6.在方程中消去一个矩阵可以同时左乘或者右乘它的逆矩阵出现E直接消去

7.求逆矩阵有初等变换法以及伴随矩阵法,首选前者

8.经典例题1逆矩阵相关性质与例题_第4张图片

9.经典例题2逆矩阵相关性质与例题_第5张图片

例题2总结:

        1.提的时候要注意方向

        2.矩阵不能同除

        3.任何矩阵与数运算都要乘E

        4.写任何逆矩阵时都要先证明矩阵可逆

10.经典例题3

逆矩阵相关性质与例题_第6张图片

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