WebRtc AEC核心算法之二：Partitioned block频域自适应滤波

WebRtc AEC核心算法之二：Partitioned block频域自适应滤波

本篇在上一章的基础之上，继续分析滤波器的特点。

回声的延时和滤波器的抽头

我们不妨先想想回声延时的问题。为了简化分析，只考虑个人终端的两种普遍情况，一种是从speaker直接反馈到mic，一种是经过反射物在折返给mic（免提情况会采集到明显的回声）。第一种回声可以忽略路径损耗，只关心设备硬件和软件的群延时，第二种需要在群延时的情况下再加上几十毫秒不等。手机硬件收发大都采用20ms为一帧，因为收发同步等原因，群延时50ms以上。按照16kHz语音采样率来看，抽头>16000*0.05(800)是最低的要求，如果希望覆盖反射回声，那滤波器的抽头就得数以千计了。这是物理原因，抽头量不可避免，如果时域方法，卷积算法会非常可观，所以频域方法在实际应用中会如此受欢迎。不仅如此，各位专家还在不遗余力地寻找更加节省运算量的方法，其中之一就是WebRTC中运用的Partioned block frequeney domain adaPtive filter(PBFDAF)。

分块频域自适应滤波-PBFDAF

尽管前文已经利用FFT实现了频域滤波，令计算量减少，但由于抽头太多，为了进一步的降低预算复杂度，将$h(n)$等分L个相邻的、N等长的而且不交叠的段：
$$h(n)=\sum _{l=0}^{L-1}{h}_l(n)$$
对于每个段，都有$h_l(n)=h(n)当n=lN,...,lN+N-1$。相对于众所周知的子带滤波，这种分法可以理解为对输入信号全频谱的$L$个并行的滤波器，由此，完整地信道冲击相应$h(n)$就在时间轴被横截为L分，变成了如下图展示的并行结构。

那么滤波器的输出$y(n)=x(n)\ast h(n)$可以写成如下形式
$$\begin{array}{rl}y(n)& =x(n)\ast \sum _{l=0}^{L-1}{h}_l(n)\\ & =\sum _{l=0}^{L-1}x(n)\ast h_l(n)\\ & =\sum _{l=0}^{L-1}x(n-lN)\ast h_l(n+lN)\\ & =\sum _{l=0}^{L-1}{y}_l(n)\end{array}$$
这样就把结果变成了输入分别通过L个并行延时的N阶滤波器了。如果利用巧妙的数据分段策略，L个并行滤波器的线性卷积可以分别独立的通过一个N个采样点延时的频域方法计算得出，不再需要NL个采样点了。
S_in和S_out标识已经分段的信号，这些信号按照上一篇的推导，需要进行线性卷积处理，输入信号时当前块和上一块的级联，长度是2N，进入FFT之后，计算得结果存于一个FIFO结构的内存空间，也是按照N个采样点来划分的。对这些段直接进行频域相乘的滤波操作，获得的结果目前仍然是2N个频率分量。处理完的数据在输出队列里相加，然后通过IFFT处理进入输出的分段器。其他的过程按照频域滤波器的结果提取过程。最后的过程等价公式如下：
$$\sum _{l=0}^{L-1}IFFT[X^l(j-l)H^l]=IFFT[\sum _{l=0}^{L-1}[X^l(j-l)H^l]$$
上述推导是参考《On the implementation of a partitioned block frequency domain adaptive filter (PBFDAF) for long acoustic echo cancellation》而得来的。该论文还给出了时域和概算法的复杂度比较，
$$\Delta =\frac{L{N}^2}{N(4L+3lo{g}_{2}2N)}=\frac{LN}{4L+3lo{g}_{2}2N}$$

参考文献

[1]：《On the implementation of a partitioned block frequency domain adaptive filter (PBFDAF) for long acoustic echo cancellation》 Jose M. Paez Borrallo.etc
[2]：《Adaptive Filter Theory》Fifth Edition Simon Haykin.