3.1 描述性统计分析 之 概念简介

在实际工作中，我们都喜欢看到汇总好的数据，直观的数据，而不是未统计好的一堆数据，呈现数据方式有多种，最基础的就是数据的简单描述，也称之为描述性统计。
任何事物都有两面性，就像我们评价一个人、一个公司一样，从正反两个方面进行评价，数据的描述也是一样，有“集中”与“离散”两种趋势。

1. 集中趋势

(1) 算数均数，简称均数（mean）
最常用来描述数据分布的集中趋势的统计指标，即描述一组数据在数量上的平均水平。总体均数用μ表示，样本均数用 表示。其计算公式是：

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但均数不适用于对严重偏态分布的变量进行描述，也就是说，均数容易受到极端值的影响。由此，我们通常会用到下一个概念。
(2) 截尾均数
在进行均数描述时，若存在极端值，可考虑按照一定的比例去掉最两端的数据，然后再计算均数，因此，称之为截尾均数。若截尾均数与原均数相差不大，则说明数据不存在极值，或者两端的极值影响正好抵消。
常用的截尾均值是5%截尾均数，即两端各去掉5%的数据。
(3) 中位数 Median
顾名思义，就是中位数就是中间的数，那怎么算是中间的数？前提条件是将一组数据按照从小到大顺序排列，居于中间的数，即为中位数，它把全部数值分成两部分，比它小和比它大的数值个数正好相等。具体而言：

• 当n为奇数时，M=X(n+1)/2，当n为偶数时，M=（Xn/2+Xn/2+1）/2
• 由于中位数是位置平均数，因此不受极端值的影响，在具有个别极大值或极小值的分布数列中，中位数比平均数更具代表性，代表数据的集中趋势。
• 中位数适用于任意分布类型的资料，不过，由于中位数只考虑居中的位置，对信息的利用不充分。因此，对于对称分布的数据，可优先考虑使用均数，只用均数不能使用时，才考虑用中位数代替。
  (4) 众数
  一组数据中，出现频次最多的数，即为众数，它也不受极端值的影响，但缺乏明确的统计特性，较少使用该指标。

2. 离散趋势

(1) 全距 Range
全距又称为极差，是一组数据中最大值与最小值之差，是最为简单的变异指标，只能用于预备性检查。
(2) 分位数
通常，分位数用的比较多的是百分位数、四分位数、四分位数间距。
何谓百分位数？百分位数（Percentile）是一种位置指标，用Px标志，一个百分位数Px将一组数据分为两部分，理论上有x%的样本比它小，有(100-x)%的样本比它大。中位数就是一个特定的百分位数，即P50。
四分位数，就是P25，P50，和P75分位数的总称，三个分位数将所有数据等分为4部分。四分位数间距，也就是P75与P25的间距，它剔除了两端极值的影响。

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(3) 方差和标准差
方差与标准差是表现数据离散程度的重要指标。
对于每个数据而已，离散程度的大小就是和均数的差值，简称为离均差，而总体方差就是用离均差的平方除以样本n（见公式一）。
对于样本数据而已，方差的计算公式略有不同，差别在于是离均差的评分除以样本n-1（见公式二），其中n-1也称之为自由度。

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方差这个指标考虑了每个数据的离散趋势，消除了负号以及样本量的影响，确实已经不错了，可是也有缺点：因为采用平方去除负号，导致离散趋势被夸大；另一个是量纲不合常理。因此，提出了标准差。
标准差就是方差的平方根，即为：

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由于标准差与方差计算涉及每一个变量值，虽然他们两个是最理想、最可靠的变异指标，但也会受到极端值的影响。实际上，方差和标准差的适用范围最好是服从正态分布的数据。
(4) 变异系数
有时在实际工作分析中，我们会比较不同度量单位的数据、不同量纲的数据，采用方差和标准差比较数据离散度就不太合适。如某班级学生身高数据均值为160.0cm，标准差为5.0cm，体重数据均值为50kg，标准差为4.0kg，请问身高和体重数据离散性哪个大呢？此时单位cm和kg是没法比的。
所以统计学家们提出了新的指标—变异系数，即用各自离散趋势标准差除以各自的均数，由此，可消除了量纲的影响，比较离散程度就客观了。

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3. 分布特征

在自然界中，任何数据都有属于自己的分布，正态分布、二项式分布……。每一种分布都有描述数据的分布特征，所用的描述也略有不同，在本次，我们主要介绍正态分布的相关指标：偏度系数、峰度系数。
(1) 偏度Skewness
偏度是用来描述变量取值分布形态的统计量，指分布不对称的方向和程度（记为g1），是与正态分布相比而言的统计量。

• g1<0 为负偏或左偏，长尾在左，峰尖偏右
• g1>0 为正偏或右偏，长尾在右，峰尖偏左

• g1=0 为对称分布，即正态分布

  
  
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  (2) 峰度Kurtosis
  峰度是用来描述变量取值分布形态陡缓程度的统计量（记为g2），指分布图形的尖峭程度或峰凸程度。峰度也相对于正态分布而言。

• g2<0 为形态比较平缓
• g2>0 为峰的形状比较尖

• g2=0 为正态峰

  
  
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