CodeTON Round 5 (Div. 1 + Div. 2, Rated, Prizes!) F. Tenzing and Tree(绝对值等式+树的重心性质+贡献)

题目

n(n<=5e3)个点的树，你可以给树上染若干个黑点，剩下的点是白点

对于一条边，其边权定义为这条边两侧的黑点个数差的绝对值，

对于每个k(0<=k<=n)，输出给树上染恰好k个黑点时，对应的最大边权和的值

思路来源

pinkrabbit、heltion代码、官方题解

题解

感觉很典的题，树的重心+绝对值等式

先说解法，以每个点i为根分别bfs，得到一个距离数组dis，

取前k个值的权值之和，更新mn[k]的值，

n个点分别为根，更新n遍之后，得到mn数组，

则，(n-1)*i-mn[i]，即为i个点时候的答案

下面证明一下正确性

1. 首先，证明最优解下黑点一定是联通的

我们可以假设一开始的时候，在树的一个叶子节点上，放了k个黑点

也就是假设一开始没有一个节点上只能放一个黑点的限制，

后续通过我们不断平移，一次将一个黑点平移到相邻边，

使得最终k个黑点分摊在k个树上的真实节点上

那一开始的时候，总贡献即为(n-1)*k，

当第一次平移一个点的时候，有一条边的贡献发生了变化，

一侧为n-1个黑点，另一侧为1个黑点，导致其贡献为n-2，总贡献和减少了2

不断的平移，总贡献和就不断的减少

那假设黑点不是联通的，不妨考虑只差一步的情形，

一侧k-1个点是联通的，另一侧1个黑点，且两个连通块之间隔着一个白点，

那此时有两条边，满足一侧为n-1个黑点，另一侧为1个黑点

如果1个黑点占据了那个白点的位置，

则可以使得只有一条边，满足一侧为n-1个黑点，另一侧为1个黑点

而刚才的另一条边，变为一侧有n个黑点的情况， 即总贡献+2

通过增量法，我们可以使得差x步可以优化到差x-1步，只差一步最终优化到联通

2. 其次，证明一下刚才的求法能求得最优解

mn数组对应的最小值，由于是bfs的(dfs也可以)，所以可以还原回树上的黑点连通块

固定根为i，求得的dis数组，选得前k个求和，代表选了k个黑点

既可以理解为k个黑点到根的距离和，dis=x表示每个点上方有x个点，或者有x条边

也可以理解为所有边对应的子树中的黑点的数量和，即交换求和顺序，从边的视角来看这个和式

答案的式子，在求k个黑点的最优解时，

1. 有n-k条边，满足k个黑点在这些边的一侧，其代价为(n-k)*k

2. 对于两侧都有黑点的这k-1条边来说，后面和式表示非子树黑点数量和-子树黑点数量和

而这距离最终的答案还有一个绝对值，

如果是，就是我们想要的答案了

当枚举n个根时，每个根都对应一个局部最优解，n个局部最优解的最大值，是最终解

最终解得到的连通块，还是一棵树，不妨称其为最优黑点树（不唯一），而树一定有重心

我们一定可以通过最优黑点树的重心为根，枚举到某一棵最优黑点树

此时，根据重心性质，子树大小不超过树总大小的一半，

即dis<=k/2，使得一定非负，和式等于

那么其他非最优解的情况，其值只会多减，导致比abs求和小，不会影响最优解

有点类似曼哈顿距离的松弛，绝对值等式abs(x-y)=max(x+y-2y,x+y-2x)

只要最优解下能和abs取等，其他情况下，算的不是abs也无妨

代码

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