C++ day38 动态规划 斐波那契数列 爬楼梯 使用最小花费爬楼梯
题目1：509 斐波那契数列
题目链接：斐波那契数列
对题目的理解
斐波那契数列由0和1开始，后面每一项数字(F(n))都是前两个数字的和，给一个n，计算F(n)，（0<=n<=30）
动规五部曲
1）确定dp数组以及下标含义
dp[i]:第i个斐波那契数的数值 i：第i个斐波那契数
2）递推公式
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
3)dp数组初始化
dp[0] = 0
dp[1] = 1
4) 确定遍历顺序
从递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历
5）打印dp数组（debug）
伪代码
代码
class Solution {
public:
int fib(int n) {
if(n<=1) return n;
vector dp(n+1);
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
for(int i=2;i<=n;i++){
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
}
return dp[n];
}
}; - 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(n)
压缩版本（优化空间复杂度）
也可以发现，不使用dp数组，只维护3个数值也可以求解，最终的dp[1]是所求，sum也是所求
伪代码
代码
class Solution {
public:
int fib(int n) {
if(n<=1) return n;
int dp[2];
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
int sum= 0;
for(int i=2;i<=n;i++){//控制循环的次数，计算多少次
sum = dp[0]+dp[1];
dp[0] = dp[1];
dp[1] = sum;
}
return dp[1];
//return sum;
}
};注意：如果代码写成这样，就会报错未定义变量sum
报的错误如下
错误的原因是
sum只在循环内可用，出了循环就无法访问了。需要将 sum 定义在循环外面，这样才能在函数末尾返回。
所以将代码修改为如下
class Solution {
public:
int fib(int n) {
if(n<=1) return n;
int dp[2];
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
int sum= 0;
for(int i=2;i<=n;i++){//控制循环的次数，计算多少次
sum = dp[0]+dp[1];
dp[0] = dp[1];
dp[1] = sum;
}
return dp[1];
//return sum;
}
};- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(1)
递归法
class Solution {
public:
int fib(int n) {
if(n<=1) return n;
return fib(n-1)+fib(n-2);
}
};- 时间复杂度：O(2^n)
- 空间复杂度：O(n)，算上了编程语言中实现递归的系统栈所占空间
题目2：70 爬楼梯
题目链接：爬楼梯
对题目的理解
楼梯爬n阶才能到达楼顶，每次可以爬1或2个台阶，有多少种不同的爬法(1<=n<=45)
本题其实就是求斐波那契数列
动规五部曲
1）确定dp数组以及下标i的含义
dp[i]：达到第i阶有dp[i]种方法
2）确定递推公式
dp[i-1]再走1步到达dp[i] dp[i-2]再走2步到达dp[i]
dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]
3）初始化递归数组
dp[0]=1;//达到第0阶有1种方法，含义上说不通，因为题目的n>=1，因此，初始化dp[0]没有意义
dp[0]=0;//没有走，没有用方法，这个可以，但是初始化dp[0]没有意义
只初始化dp[1]和dp[2]，dp[1]=1,dp[2]=2,达到第1阶有1种方法，达到第2种有两种方法
4）确定遍历顺序
从前向后遍历，dp[i]依赖于前两个状态dp[i-1]和dp[i-2].
5）打印dp数组
代码
class Solution {
public:
int climbStairs(int n) {
if(n<=2) return n;
vector dp(n+1);
dp[1]=1;
dp[2]=2;
for(int i=3;i<=n;i++){
dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2];
}
return dp[n];
}
}; - 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(n)
压缩版本（优化空间复杂度）
直接维护3个数即可
class Solution {
public:
int climbStairs(int n) {
if(n<=2) return n;
int dp[3];
dp[1]=1;
dp[2]=2;
for(int i=3;i<=n;i++){
int sum = dp[1]+dp[2];
dp[1] = dp[2];
dp[2] = sum;
}
return dp[2];
}
};- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(1)
扩展
本题还可以扩展，比如一步一个台阶，两个台阶，三个台阶，直到m个台阶，有多少种方法爬到n阶楼顶，这时，此题变成了一个完全背包问题
题目链接：扩展楼梯（完全背包）
题目3：746 使用最小花费爬楼梯
题目链接：使用最小花费爬楼梯
对题目的理解
整数数组cost中的元素cost[i]从楼梯第i个台阶向上爬需要支付的费用，每次只能爬一个或者两个台阶，可以选择，从下标为0或下标为1的台阶开始爬
返回到达楼顶的最低花费
！！！注意楼顶的位置是cost.size()
动规五部曲
1）确定dp数组的含义以及下标i的含义
dp[i]表示到达第i个台阶（第i个位置）所需要的最小花费是dp[i]
2）递推公式
可以从i-1往上跳1步到达i，此时dp[i] = dp[i-1]+cost[i-1],两者相加是因为从底层跳到i-1层还需要dp[i-1]的花费，然后从i-1跳到i，还需要cost[i-1]的花费
也可以从i-2往上跳2步到达i，此时dp[i] = dp[i-2]+cost[i-2]，两者相加是因为从底层跳到i-2层还需要dp[i-2]的花费，然后从i-2跳到i，还需要cost[i-2]的花费
因此，递推公式为dp[i] = min(dp[i-1]+cost[i-1], dp[i-2]+cost[i-2])
3）dp数组初始化
dp[0] = 0,因为题目中说可以从下标为0的台阶开始爬，所需最小花费是0
dp[1] = 0,因为题目中说可以从下标为1的台阶开始爬，所需最小花费是0
4）遍历顺序
从前向后遍历，因为dp[i]由dp[i-1]dp[i-2]推出
5）打印dp数组（debug）
代码
class Solution {
public:
int minCostClimbingStairs(vector& cost) {
vector dp(cost.size()+1);
//初始化dp数组
dp[0]=0;
dp[1]=0;
for(int i=2;i<=cost.size();i++){
dp[i] = min(dp[i-1]+cost[i-1], dp[i-2]+cost[i-2]);
}
return dp[cost.size()];
}
}; - 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(n)
压缩版本（优化空间复杂度）
不使用dp数组了，直接使用3个数值即可(有点绕)
class Solution {
public:
int minCostClimbingStairs(vector& cost) {
int dp[2];
//初始化
dp[0]=0;
dp[1]=0;
for(int i=2;i<=cost.size();i++){
int minvalue = min(dp[1]+cost[i-1], dp[0]+cost[i-2]);
dp[0] = dp[1];
dp[1] = minvalue;
}
return dp[1];
}
}; - 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(1)