计算方法知识总结

计算方法

author:AIDreamer

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last modified on :2016/12/23

一:线性方程组的直接解法

  • 基本方法
    {GaussGaussGaussAX=LUX=BALU(ps:L:low,U:up)LY=bUX=Y

二:线性方程组的迭代解法

  • 迭代法的基本思想:

    我们的目的是求解线性方程组的解,迭代法的做法是初始化一个向量序列的值,通过迭代的方法不断改进这个值使其收敛至某个极限向量,这个极限向量就是线性方程组的解。

  • 迭代法的主要步骤:

    1.AX=bX=BX+f2.X(0)=(x1(0),x2(0),,xn(0))3.

  • 三种迭代方法:

    记:

    D=a11a22ann

    L=0a21an10an20

    U=0a210a1na2n0

  • 三个迭代方法
    JacobiX(k+1)=D1(L+U)X(k)+D1bx(k+1)i=(bijiaijx(k)j)aiiGaussSeidel1.GaussSeidelJacobi2.JacobiX(k)X(k+1),x(k+1)ix(k+1)1,x(k+1)2...x(k+1)i13.GaussSeidelx(k+1)1x(k+1)i1x(k)1x(k)i14.xk+1i=(bii1j=1aijx(k+1)jnj=i+1aijx(k)j)aij5.X(k+1)=BGX(k)+fGBG=(DL)1bBGGSSOR1.SORGS,ω2.GSxi^k+1=(bii1j=1aijx(k+1)jnj=i+1aijx(k)j)aij3.ωx(k+1)i=(1ω)x(k)i+ωxi^(k+1)

关于这几种迭代法收敛性的证明略。

三:插值方法

  • 数值逼近

    数值逼近是计算方法中最重要的概念与方法之一,基本思想是用简单函数去近似复杂函数。

Rn(x)=f(x)pn(x)

Rn(x)()f(x)Pn(x)

  • 数值逼近包括以下基本问题:
    1.n+12.使max|f(x)Pn(x)|=min,x[a,b]3.([a,b]f(x))ba[f(x)Pn(x)]2dx=min4.(f(x))nk=1[fkPn(xk)]2=min

下面重点讨论插值问题:

  • 插值问题

    插值问题就是已知原函数 y=f(x) 在区间[a,b]上n+1个点 (xi,f(xi)) ,让你求出一个多项式函数 y=Pn(x) 过这n个点来近似代替原函数。

    插值多项式存在且唯一

    • Lagrange插值

      1.线线Lagrange2.LagrangePn(x)=(xx1)(xx2)...(xxn)(x0x1)(x0x2)...(x0xn)f0+(xx0)(xx2)...(xxn)(x1x0)(x1x2)...(x1xn)f1+......(xx0)(xx1)...(xxn1)(xnx0)(xnx1)...(xnxn1)fn{Pn(x)=ni=0li(x)fili(x)=Πnj=0,j1xxjxixj3.Lagrange4.1.ξ(a,b)使Rn(x)=f(x)pn(x)=ω(n+1)(x)f(n+1)(ξ)(n+1)!ωn+1(x)=Πni=0(xxi)2.Mn+1=maxaxb|f(n+1)(x)||Rn(x)|Mn+1(n+1)!|ωn+1(x)|Lagrangenewton

    • Newton插值

      1.f[x0]=f0f[x1]=f1...f[xn]=fnf[xi,xi+1]=f[xi]f[xi+1]xixi+1kf[xi,xi+1,...,xi+k]=f[xi,xi+1,...,xi+k1]f[xi+1,xi+2,...,xi+k]xixi+k2.3.NewtonNn(x)=f[x0]+f[x0,x1](xx0)+...+f[x0,x1,...,xn](xx0)(xx1)...(xxn1)Nn(x)Pn(xi)=yi4.Newton{1.2.Newtonf(x)

    • 等距节点插值

四:数值积分

求函数f(x)在[a,b]上的定积分 I=baf(x)dx ,如果用传统的牛顿莱布尼茨公式 I=baf(x)dx=F(b)F(a) ,原函数F(x)不易求得,数值积分就是为了解决这样问题的工具。

  • 数值积分

    计算定积分的具有一定精度的近似值的各种计算方法。
    从几何上看就是计算曲边梯形面积的近似值。

    {

  • 数值积分的一般形式

    baf(x)dx=i=0nωifi+Rn{fif(x)xiωixi

    正是由于权系数的构造方法不同,从而决定了数值积分的不同方法

  • 代数精度问题

    一般地,数值求积公式如果对次数不超过 k 的多项式 Pk(x) 是精确的,而对k +1次多项式 Pk+1(x) 不精确,则称该公式具有—-k 阶代数精度

  • 插值型求积公式和 Newton-Cotes求积公式

    .1.LagrangeLagrangeLn(x)=ni=0f(xi)li(x)Rn(x)=f(n+1)(ξx)(n+1)!Πni=0(xxi)ξx(x0,xn)f(x)=Ln(x)+Rn(x)2.I=baf(x)dx=ni=0Aif(xi)+Rn(f)Ai=bali(x)dxI=ni=0Aif(xi)I=ba(x)dxRn(f)=baRn(x)dx=1(n+1)!baf(n+1)(ξx)Πni=0(xxi)dx..NewtonCotes1.NCn2.n1线3.Simpsonn2Lagrange4.NC{nnnnn+1.{[a,b]使NC.

  • 变步长求积算法

    求积过程中随时判断是否达到精度,不然就自动加细分割

五:常微分方程

通过数值的方法求解微分方程是求出微分方程的一系列离散的解.

  • 常用方法
    .Euler1.EulerTayloryn+1=yn+hf(xn,yn)En+1=y(xn+1)yn+1=12h2y′′(ξ)2.{yn+1=yn+h2[f(xn,yn)+f(xn+1y¯n+1)]En+1=112h3y′′′(ξ)ξ[xn,xn+1]3.EulerEuleryn+1=12(yp+yq)yp=yn+hf(xn,yn)yq=yn+hf(xn+1,yp).RungeKutta1.Taylor:Euler2.RungeKutta3.RungeKuttayn+1=yn+h2(k1+k2)k1=f(xn,yn)k2=f(xn+h,yn+k1h)

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