R——概率统计与模拟（四）拒绝抽样

原创：hxj7

本文介绍了拒绝抽样（Reject Sampling）。

前文《R-概率统计与模拟（三）变换均匀分布对特定分布进行抽样》介绍了通过“变换均匀分布”来对特定分布进行抽样的方法，但是该方法需要知道累积分布的解析表达式及其反函数，所以有一定的限制。

其实，我们最常接触的还是，根据抽样往往更直接。比如，均匀分布的就很简单，对其抽样也很方便。但是，对于一些复杂的，直接抽样是不可取的，需要用其它方法。拒绝抽样就是其中一种。

下文分为五个部分：

拒绝抽样简介
利用拒绝抽样方法对分布抽样
如何利用rand7对rand10抽样
蓄水池抽样算法
对拒绝抽样的补充说明

拒绝抽样简介

所谓拒绝抽样，是针对一个已知的概率分布进行抽样的方法。具体步骤如下：

假设我们要对一个分布进行随机抽样，已知其是。

可能比较复杂以至于直接抽样有困难，我们可以选择一个容易抽样的分布，假设该分布是，再选择一个足够大的数，使得始终比大。

根据抽取一个值。

从均匀分布中抽取一个数，如果那么接受这个采样值，否则拒绝它。

重复第3步和第4步，知道采样的数量达到预定要求。

通过这些步骤获取到的采样值就是符合分布的。需要注意的是的取值，如果过大，会导致抽样过程中被拒绝的点增多，降低采样点的接受率。事实上，我们可以证明采样点的接受率是，所以的取值应该在保证的前提下尽可能得小。（相关的证明在文末。）

像上图一样，的取值要保证。

利用拒绝抽样方法对分布抽样

上面的步骤比较抽象，我们举一个实际的例子来说明：我们怎么通过拒绝抽样的方法对进行抽样？
（选这个例子是因为它也用到了我们在前文提到的“变换均匀分布”的方法。）

我们对照上面的步骤一步一步来说：

我们知道，目标分布的是：

显然比较复杂，不易直接采样。我们选择一个较容易采样的分布，其是：

我们选择：

所以：

可以证明，当并且时，对所有都有。并且可以看出，当取值不同时，、以及都是在变化的，也会影响到接受率。

根据抽取一个值。看起来也是蛮复杂的，怎么对其抽样呢？我们可以通过变换均匀分布的方法来实现：
我们从的均匀分布中抽取一个值，然后令

这种通过变换均匀分布的方式得到的等价于从中抽取。

从均匀分布中抽取一个数，如果那么接受这个采样值，否则拒绝它。

重复第3步和第4步，知道采样的数量达到预定要求。

上文已经提及，取值不同会影响值，从而影响到接受率。为了验证这一点，笔者写了一段代码来做一个实验：
假设我们让，再分别让以及来看看取值不同对接受率的影响。
代码如下：

# Step1. p(x)函数
px <- function(x, a) dgamma(x, shape=a, scale=1)  

# Step2. q(x)函数
qx <- function(x, a, l) a ^ l * l * x ^ (l - 1) / ((a ^ l + x ^ l ) ^ 2)  
getM <- function(a, l) 4 * exp(-a) * a ^ a / (gamma(a) * l)  # 计算M值
mqx <- function(x, a, l, M) M * qx(x, a, l)     # Mq(x)函数

# Step3. 变换均匀分布以便对q(x)抽样的函数
transUnif <- function(x, a, l) a * (x / (1 - x)) ^ (1 / l)

# 单纯为了画p(x)的理论曲线用的函数
px.1 <- function(x) px(x, alpha)  
# 单纯为了画lambda=lambda.1时Mq(x)的理论曲线用的函数
mqx.1 <- function(x) mqx(x, alpha, lambda.1, M.1)  
# 单纯为了画lambda=lambda.2时Mq(x)的理论曲线用的函数
mqx.2 <- function(x) mqx(x, alpha, lambda.2, M.2)

ogamma <- function(a, l, M) {
  while (T) {
    x <- runif(1, 0, 1)
    y <- transUnif(x, a, l)   # 变换均匀分布实现对q(x)的抽样
    u <- runif(1, 0, 1) 
    if (u < px(y, a) / mqx(y, a, l, M))   # Step4. 是否接受采样点
      break
    nfail <<- nfail + 1   # 记录被拒绝的次数
  }
  y
}

sgamma <- function(n, a, l, M) {
  set.seed(123)
  replicate(n, ogamma(a, l, M))
}

N <- 100000
alpha <- 5

# 第一种lambda值的效果
lambda.1 <- sqrt(2 * alpha - 1)
M.1 <- getM(alpha, lambda.1)
nfail <- 0
res.1 <- sgamma(N, alpha, lambda.1, M.1)
nfail / (nfail + N)   # 计算模拟的拒绝率，14.38%
1 - 1 / M.1         # 计算理论的拒绝率，14.51%
plot(density(res.1), xlim=c(0, 20), col="red", xlab="x",
    main=paste0("Reject Sampling for Gamma(x, ", alpha, ", 1)\nwith lambda=", lambda.1))
curve(px.1, 0, 20, col="blue", add=T, lty=2)
curve(mqx.1, 0, 20, col="black", add=T, lty=3)
legend("topright", legend=c("simulative", "theoretical p(x)", "theoretical Mq(x)"),
       col=c("red", "blue", "black"), lty=c(1,2,3), bty="n")

# 第二种lambda值的效果
lambda.2 <- 1
M.2 <- getM(alpha, lambda.2)
nfail <- 0
res.2 <- sgamma(N, alpha, lambda.2, M.2)
nfail / (nfail + N)   # 计算模拟的拒绝率，71.54%
1 - 1 / M.2          # 计算理论的拒绝率，71.50%
plot(density(res.2), xlim=c(0, 20), ylim=c(0, 0.7), col="red", xlab="x",
     main=paste0("Reject Sampling for Gamma(x, ", alpha, ", 1)\nwith lambda=", lambda.2))
curve(px.1, 0, 20, col="blue", add=T, lty=2)
curve(mqx.2, 0, 20, col="black", add=T, lty=3)
legend("topright", legend=c("simulative", "theoretical p(x)", "theoretical Mq(x)"),
       col=c("red", "blue", "black"), lty=c(1,2,3), bty="n")

当时，代码模拟出的接受率是，理论上的接受率是，很接近。采样点的具体分布如下：

当时，代码模拟出的接受率是，理论上的接受率是，也很接近。采样点的具体分布如下：

我们可以看出，当分别取和时，接受率从下降到了。所以，对接受率的影响是非常大的。

如何利用rand7对rand10抽样

这来源于一个常见的算法题：如果已知一个rand7()函数，它可以从1到7这7个数字中随机地、等概率地抽取一个数，那么如何利用rand7()函数实现rand10()函数呢？所谓rand10()函数，就是这个函数可以从1到10这10个数字中随机地、等概率地抽取一个数。

这个问题的一个常见解答步骤是：

首先利用这个表达式实现从1-49这49个数中随机而等概率地抽取一个数；

如果，那么接受，并将的值作为一个采样点；否则拒绝；那么这样得到的一系列采样点就是符合预期要求的。

这个解答步骤为什么是正确的，证明也很简单，和文末的证明过程类似，所以在此略过。那为什么要介绍这个题目呢？因为我们看到抽样过程中也涉及到了“接受-拒绝”的过程，所以笔者认为这可以看作文初所述的拒绝抽样过程的一种变型。

这个问题的代码也很简单：

rand7 <- function() {
  sample(7, 1)    # 从1-7中随机抽取一个整数
}

rand10 <- function() {
  while (T) {
    x <- (rand7() - 1) * 7 + rand7()   # 1-49 uniformly.
    if (x <= 40)
      break
  }
  x %% 10 + 1    # 一个服从均匀分布的rand10的采样值
}

N <- 100000  # 样本大小
set.seed(123)
res <- replicate(N, rand10())
hist(res, prob=T, breaks = 0:10, ylim=c(0, 0.15), xlab="x",
     main="Simulation of rand10")
abline(h=0.1, col="red", lty=2)

结果如下：

从上图中可以看出，rand10()的抽样结果符合均匀分布，达到预期。

蓄水池抽样算法

如同上面rand10()的题目一样，蓄水池算法的实现过程中也涉及到了“接受-拒绝”过程，所以在此一并介绍：

所谓蓄水池抽样算法，主要应用于如下问题：即我们要从这个样本中随机抽取个样本，非常大或者未知，且。
蓄水池抽样算法的步骤是：

首先将这个样本选进来；

从开始，从中随机等概率抽取一个数，如果，那么用第个样本替代第个样本。否则不做处理

。

重复第2步和第3步，直至处理完全部的样本。

其证明过程也很简单，用归纳法即可。笔者曾经写过一篇文章介绍了该算法在测序数据reads抽取方面的应用：《算法（二）蓄水池抽样算法快速随机抽取reads》。

对拒绝抽样的补充说明

为什么按照拒绝抽样的过程进行抽样所得到的采样点就是符合的分布的？

证明：
首先我们给出一些记号：假设我们将目标分布中的点记为，从中抽取的任意一个值记为；并且让事件代表这个值被接受了。如果当时被接受了，那么就是。

有了这些记号，我们可以很容易地知道：

利用全概率公式，我们知道：

最终，我们想要知道的的分布：

利用贝叶斯公式，我们有：
$\begin{aligned} \Pr(\hat{X} \le x_i) & = \Pr(X \le x_i|A) \\ & = \frac{\Pr(X \le x_i, A)}{\Pr(A)} \\ & = \frac{\displaystyle \int^{x_i} q(t)\frac{p(t)}{Mq(t)} {\rm d}t}{\Pr(A)} \\ & = \cfrac{\cfrac{1}{M} \displaystyle \int^{x_i} p(t) {\rm d}t}{\cfrac{1}{M}} \\ & = \int^{x_i} p(t) {\rm d}t \end{aligned}$

所以可以证明，依照拒绝抽样过程得到的采样点符合分布。

拒绝采样的接受率如何计算？

从上面的证明过程中可以看出，接受率就是，等于。上述证明过程是笔者按照自己的理解写的，如果有错误，请朋友们指正。

小结

本文介绍了拒绝采样，并以分布、rand10以及蓄水池抽样算法等三个例子加以说明。拒绝采样不同于变换均匀分布的方法，它是直接根据进行抽样。其缺点是要找到合适的和值并不容易，尤其是在高维的情况下，值往往偏大，从而导致拒绝率很高。

参考

《生物序列分析》第11章

（公众号：生信了）