算法基础课 (一) 基础算法

进制转换

#include
using namespace std;
const int N = 100;
int n,m;
string s;
int x;//记录n进制转化成十进制;
int ans[N];
int main(){
    cin>>n>>s>>m;
    int t=1;
    for(int i=s.size()-1;i>=0;i--){
        if(s[i]<'A'){
            x += t*(int)(s[i]-'0');
            t *= n; 
        }else{
            x += t*(int)(s[i]-'A'+10);
            t *= n;
        }
    }
    int st = 0;
    while(x){
        ans[st++] = (x%m);
        x /= m;
    }
    for(int i=st-1;i>=0;i--){
        if(ans[i]>=10)  printf("%c",(char)(ans[i]-10+'A'));
        else printf("%d",ans[i]);
    }  
    return 0;
}

quick_sort

void quick_sort(int q[], int l, int r)
{
    //递归的终止情况
    if (l >= r) return;
    //选取分界线。这里选数组中间那个数
    int i = l - 1, j = r + 1, x = q[l + r >> 1];
    //划分成左右两个部分
    while (i < j)
    {
    do i ++ ; while (q[i] < x);
    do j -- ; while (q[j] > x);
    if (i < j) swap(q[i], q[j]);
    }
    //对左右部分排序
    quick_sort(q, l, j), quick_sort(q, j + 1, r);
}

​

边界问题 :

因为边界问题只有这两种组合，不能随意搭配；

x不能取q[l]和q[l+r>>1];
quick_sort(q,l,i-1),quick_sort(q,i,r);

x不能取q[r]和q[(l+r+1)>>1];
quick_sort(q,l,j),quick_sort(q,j+1,r);

​

merge_sort

void merge_sort(int q[], int l, int r)
{
    //递归的终止情况
    if (l >= r) return;
    //第一步：分成子问题
    int mid = l + r >> 1;
    //第二步：递归处理子问题
    merge_sort(q, l, mid);
    merge_sort(q, mid + 1, r);
    //第三步：合并子问题
    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    while (i <= mid && j <= r)
        if (q[i] <= q[j]) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
        else tmp[k ++ ] = q[j ++ ];
    while (i <= mid) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
    while (j <= r) tmp[k ++ ] = q[j ++ ];
    //第四步：复制回原数组
    for (i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++ ) q[i]=tmp[j];
}

​

整数二分

• 对于lower_bound : >= x的第一个元素的位置

• 对于upper_bound : >x的第一个元素的位置

模板 :

bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质
​
// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r){
    while (l < r){
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid; // check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;//左加右减
    }
    return l;
}
​
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;//如果下方else后面是l则这里加1
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;//左加右减
    }
    return l;
}

浮点数二分

bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质
​
double bsearch_3(double l, double r)
{
    const double eps = 1e-6; // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

高精度加法

// C = A + B, A >= 0, B >= 0
vector add(vector &a,vector &b){
    //c为答案
    vector c;
    //t为进位
    int t=0;
    for(int i=0;i

高精度减法

​

// C = A - B, 满足A >= B, A >= 0, B >= 0
vector sub(vector &A, vector &B)
{
    //答案
    vector C;
    //遍历最大的数
    for (int i = 0, t = 0; i < A.size(); i ++ )
    {
        //t为进位
        t = A[i] - t;
        //不超过B的范围t=A[i]-B[i]-t;
        if (i < B.size()) t -= B[i];
        //合二为一，取当前位的答案
        C.push_back((t + 10) % 10);
        //t<0则t=1
        if (t < 0) t = 1;
        //t>=0则t=0
        else t = 0;
    }
    //去除前导零
    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    return C;
}

高精度乘低精度

// C = A * b, A >= 0, b >= 0
vector mul(vector &A, int b)
{
    //类似于高精度加法
    vector C;
    
    //t为进位
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < A.size() || t; i ++ )
    {
        //不超过A的范围t=t+A[i]*b
        if (i < A.size()) t += A[i] * b;
        //取当前位的答案
        C.push_back(t % 10);
        //进位
        t /= 10;
    }
    //去除前导零
    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    return C;
}

高精度乘高精度

char a1[10001], b1[10001];
int a[10001], b[10001], i, x, len, j, c[10001];
int main () {
    cin >> a1 >> b1; //不解释，不懂看前面
    int lena = strlen(a1); //每个部分都很清楚
    int lenb = strlen(b1); //这只是方便你们复制
    for (i = 1; i <= lena; i++)
        a[i] = a1[lena - i] - '0';//倒序存储
    for (i = 1; i <= lenb; i++)
        b[i] = b1[lenb - i] - '0';//倒序存储
    for (i = 1; i <= lenb; i++)
        for (j = 1; j <= lena; j++)
            c[i + j - 1] += a[j] * b[i];//存每位答案
    for (i = 1; i < lena + lenb; i++)
        if (c[i] > 9) {
            c[i + 1] += c[i] / 10;//进位
            c[i] %= 10;//取当前位答案
        }
    len = lena + lenb;
    while (c[len] == 0 && len > 1)//去除前导零
        len--;
    for (i = len; i >= 1; i--)//输出答案
        cout << c[i];
    return 0;
}

高精度除低精度

// A / b = C ... r, A >= 0, b > 0
vector div(vector &A, int b, int &r)//高精度A，低精度b，余数r
{
    vector C;//答案
    r = 0;
    for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i -- )
    {
        r = r * 10 + A[i];//补全r>=b
        C.push_back(r / b);//取当前位的答案
        r %= b;//r%b为下一次计算
    }
    reverse(C.begin(), C.end());//倒序为答案
    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();//去除前导零
    return C;
}

一维前缀和

前缀和能够快速计算一个序列的区间和，也有很多个问题里面不是直接用前缀和，但是借用了前缀和的思想；

预处理 : s[i] = a[i] + a[i-1]
求区间[l,r] : sum == s[r]-s[l-1]
“前缀和数组” 和 "原数组" 可以合二为一

应用 :

const int N=100010;
int a[N];
int main(){
    int n,m;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=a[i-1]+a[i];
    scanf("%d",&m);
    while(m--){
        int l,r;
        scanf("%d%d",&l,&r);
        printf("%d\n",a[r]-a[l-1]);
    }
    return 0;
}

二维前缀和

计算矩阵的前缀和：s[x][y] = s[x - 1][y] + s[x][y -1] - s[x-1][y-1] + a[x][y]
以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
计算子矩阵的和：s = s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 -1]

应用 :

int s[1010][1010];
int n,m,q;
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            scanf("%d",&s[i][j]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            s[i][j]+=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1];
    while(q--){
        int x1,y1,x2,y2;
        scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
        printf("%d\n",s[x2][y2]-s[x2][y1-1]-s[x1-1][y2]+s[x1-1][y1-1]);
    }
    return 0;
}

一维差分

差分是前缀和的逆运算，对于一个数组a，其差分数组b的每一项都是a[i]的前一项a[i-1]的差。

注意 : 差分数组和原数组必须分开存放!!!!!

给区间[l,r]中的每一个数加上c,B[l]+=c,B[r+1]-=c

应用 :

using namespace std;
int a[100010],s[100010];
int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=a[i]-a[i-1];// 读入并计算差分数组
    while(m--){
        int l,r,c;
        cin>>l>>r>>c;
        s[l]+=c;
        s[r+1]-=c;// 在原数组中将区间[l, r]加上c
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        s[i]+=s[i-1];
        cout<

​

二维差分

给以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c：
S[x1, y1] += c, S[x2 + 1, y1] -= c, S[x1, y2 + 1] -= c, S[x2 + 1, y2 + 1] += c
const int N = 1e3 + 10;
int a[N][N], b[N][N];
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
    b[x1][y1] += c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}
int main()
{
    int n, m, q;
    cin >> n >> m >> q;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            cin >> a[i][j];
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            insert(i, j, i, j, a[i][j]); //构建差分数组
    while (q--)
    {
        int x1, y1, x2, y2, c;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
        insert(x1, y1, x2, y2, c);//加c
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++){
        for (int j = 1; j <= m; j++){
            b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1]; //二维前缀和
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++){
        for (int j = 1; j <= m; j++){
            printf("%d ", b[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

位运算

求n的第k位数字: n >> k & 1
返回n的最后一位1：lowbit(n) = n & -n

离散化

vector alls; // 存储所有待离散化的值
sort(alls.begin(), alls.end()); // 将所有值排序
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());   // 去掉重复元素
// 二分求出x对应的离散化的值

int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置
{
    int l = 0, r = alls.size() - 1;
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (alls[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return r + 1; // 映射到1, 2, ...n
}

区间合并

题 : acwing803

// 将所有存在交集的区间合并
void merge(vector &segs)
{
    vector res;
​
    sort(segs.begin(), segs.end());
​
    int st = -2e9, ed = -2e9;
    for (auto seg : segs)
        if (ed < seg.first)
        {
            if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});
            st = seg.first, ed = seg.second;
        }
        else ed = max(ed, seg.second);
​
    if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});
​
    segs = res;
}

快速加 :

LL qadd(LL a , LL b , int p){
    LL res = 0;
    while(b){
        if(b&1) res = (res + a) % p;
        a = (a + a) % p;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}