【树】数据结构——树和二叉树的概念&笔记

一、基本概念

树是一种非线性结构，其严格的数学定义是：如果一组数据中除了第一个节点（第一个节点称为根节点，没有直接前驱节点）之外，其余任意节点有且仅有一个直接前驱，有零个或多个直接后继，这样的一组数据形成一棵树。这种特性简称为一对多的逻辑关系。

二、常见例子

日常生活中，很多数据的组织形式本质上是一棵树。比如一个公司中的职员层级关系，一个学校中的院系层级关系，淘汰赛中的各次比赛队伍，一个家族中的族谱成员关系等，这些都是树状逻辑结构。由于树状结构表现出来都是具有层次的，因此也被称为层次结构。

通常，在逻辑上表达一棵抽象的树状结构的时候，习惯于将树根放在顶部，树枝树杈向下生长，如下图所示。

三、基本术语

对于一棵树来说，有如下基本术语：

1、根（root）

树的第一个节点，没有直接前驱。如上图中的A。

2、双亲节点（parent）

某节点的直接前驱称为该节点的双亲节点，或成为父节点。例如上图中A是B的父节点。根节点无父节点

3、孩子节点（child）

某节点的直接后继称为该节点的孩子节点。例如上图中B、C、D均为A的孩子节点。

4、节点的层次（level）

根节点所在的层次规定为第1层，其孩子所在的层次为第2层，后代节点以此类推。比如上图中节点E的层次是3。
树的层次/深度: 4

5、节点的度（degree）

一个节点拥有的孩子节点的总数，称为该节点的度。比如上图中节点B的度为2。

6、叶子（leaf）

一棵树中度等于0的节点，被称为叶子，又称为终端节点。比如上图中K、L、F、G、M、I、J均为叶子。----没有孩子节点的节点称为叶子节点

7、树的高度（height）/深度

一棵树中所有节点的层次的最大值，称为这棵树的高度，又称为树的深度。比如上图的树的高度为4。----从根节点到叶子节点的最长路径

8、有序树与无序树—人为定义的概念

一棵树中，如果某个节点的孩子节点之间是有次序的，则称这棵树为有序树，反之称为无序树。

四、二叉树

在各种不同的树状结构中，最常见也最重要的是二叉树（Binary Tree），下面是二叉树的定义：

• 有序树
• 任意节点的度小于等于2

比如如下这棵树就是一棵二叉树。其中8是根节点，14是10的右孩子（因为二叉树是有序树，因此严格区分左右），而13则是14的左孩子。

为了方便对二叉树进行操作，通常会对一棵它进行标号：从上到下，从左到右进行标号：

注意：
没有孩子节点的地方也要标出来
对于二叉树而言，有如下特性：

• 第i层上，最多有2^i−1个节点。
• 高度为k的二叉树，最多有(2^k ) −1个节点。
• 假设叶子数目为n0​，度为2的节点数目为n2​，则有：n0​=n2​+1

另外，还需掌握如下重要的基本概念：

• 满二叉树/完美二叉树：（full/perfect binary tree）

树的高度为k，且树的节点总数达到(2^k)−1的二叉树。
①没有一个节点的度为1都是0或是2
②节点个数达到(2^k)−1 [K:二叉树层数]

• 完全二叉树：（complete binary tree）各节点的标号连续。

• 平衡二叉树：（balance binary tree）任意节点的两棵子树高度差小于等于1。
  平衡二叉树也被成为AVL树----AVL算法属于选修内容，解决BST树的退化问题

• 退化二叉树：（degenerate binary tree）所有的节点的度小于等于1，此时的二叉树实际上已经退化成链表。

• 最优二叉树-哈夫曼树带权路径最短的二叉树

五、存储形式

与其他逻辑结构类似，可以使用顺序存储，也可以使用链式存储。

1、顺序存储

由于在顺序存储，数据元素之间的逻辑关系是用物理位置来表达的，而二叉树中每一个节点都有一个对应的标号，因此可以使用标号来作为数组的下标，但除非是完美或者完全二叉树，否则会浪费存储空间，如下图所所示。

二叉树的顺序储存规则:
①按二叉树标号对应数组的下标储存
②如果空出的标号在对应数组下标成员 补0

在顺序存储中，节点彼此之间的关系，要用到二叉树标号的基本特性。简单观察二叉树的标号会发现如下规律：

• 根节点标号为1，根节点没有父节点
• 标号为n的节点，其父节点的标号为n/2
• 标号为n的节点，其左孩子（若有）的标号为2n，其右孩子（若有）的标号为 2n+1

根据以上结论，在顺序存储的二叉树中，虽然没有任何信息连接节点e和f，但根据他们的下标序号，可以得知e是f的父节点，且f是e的左孩子。

2、链式存储

链式存储思路与链表类似，使用指针来直接将节点的逻辑关系串起来，比如：

对于链式存储而言，二叉树节点的设计与链表无异，如下：

typedef struct node
{
    datatype data; // 用户数据

    struct node *lchild; // 左子树指针
    struct node *rchild; // 右子树指针
}node;

六、 树的遍历

所谓遍历，就是按某种规律访问每一个节点。对于之前的线性表而言，遍历算法很简单，就是从头跑到尾，因为线性表是一对一的关系。但是树状结构是非线性的，因此从根节点开始遍历所有节点可以有多种不同的算法，常见的有：

• 前序遍历：根节点 - 左子树 - 右子树
• 中序遍历：左子树 - 根节点 - 右子树
• 后序遍历：左子树 - 右子树 - 根节点
• 按层遍历：从上到下，从左到右依次访问节点

其中需要注意的是，前中后序遍历，都是递归算法。以前序遍历为例，当访问完根节点，进而要访问左子树时，由于左子树本身一棵二叉树，因此也需要进行前序遍历，也是先访问左子树的根节点，然后再依次访问左子树的左子树和左子树的右子树。比如：

前序遍历的序列是：F - [BADCE] - [GIH]
其中，F是根节点，而BADCE是左子树，GIH是右子树。
对左子树的访问，也符合前序遍历的定义，即：B - [A] - [DCE]
以此类推，对上述二叉树而言：
中序遍历的序列是：[ABCDE] - F - [GHI]
后序遍历的序列是：[ACEDB] - [HIG] - F
至于按层遍历，就按照字面意思理解即可，序列是：FBGADICEH