前缀和与差分

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前缀和

一维前缀和

板子题：https://www.acwing.com/activity/content/problem/content/829/

公式

$$S[i]=a[i]+S[i-1]$$

CODE

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
int n, m, l, r;
int a[N], s[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        scanf("%d", &a[i]);
        s[i] = s[i - 1] + a[i];
    }
    
    while(m--){
        cin >> l >> r;
        printf("%d\n", s[r] - s[l - 1]);
    }
}

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二维前缀和

板子题：https://www.acwing.com/activity/content/problem/content/830/

公式

$$S[i][j]=S[i-1][j]+S[i][j-1]-S[i-1][j-1]+a[i][j]$$

CODE

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 1010;
int n, m, q;
int x1, x2, y1, y2;
int a[N][N], s[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m >> q;
    
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        for(int j = 1; j <= m; ++j){
            scanf("%d", &a[i][j]);
            s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];
        }
        
    while (q -- ){
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        printf("%d\n", s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]);
        
    }
}

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差分

一维差分

板子题：https://www.acwing.com/activity/content/problem/content/831/

思路

差分其实是前缀和的逆运算，我们假想有一个数组b[]，它的前缀和是数组a[]，也就是说：
$$b[i]=a[i]-a[i-1]$$

作用

这个b[]数组有什么用呢？
在我们对a[]的元素进行加减操作时，如果采用遍历a[]的方法，时间是 $o(N)$ 的，但是如果我们用b[]对其优化可以使时间复杂度降到 $o(1)$。

对a[]的 $[i,j]$ 段进行+k操作，我们可以在 b[i] + k并在b[j + 1] - k。当我们对b[]求前缀和时，从i开始的每个元素都会+k，但是我们只要加到a[j]就结束了，所以在a[j + 1]进行归位。

CODE

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
int n, m;
int l, r, c;
int a[N], b[N];

void insert(int l, int r, int c){
    b[l] += c;
    b[r + 1] -= c;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; ++i){ 
        scanf("%d", &a[i]);
        insert(i, i, a[i]);
    }
    
    while (m -- ){
        cin >> l >> r >> c;
        insert(l, r, c);
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; ++i) printf("%d ", b[i] += b[i - 1]);
}

整个差分数组的精髓就在于insert()函数，非常巧妙啊，尤其是在读入阶段对b[]数组进行初始化时的操作，这个操作的意义如下：

来源：https://www.acwing.com/activity/content/code/content/39799/

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二维差分

板子题：https://www.acwing.com/activity/content/problem/content/832/

思路

答题思路跟一维差分差不多，借鉴二维前缀和的操作我们可以得到以下公式：
$$a[i][j]=b[i][j]-b[i-1][j]-b[i][j-1]+b[i-1][j-1]$$

那我们插入函数该怎么写呢？
一样的原理：
$$\begin{gathered} b[x1][y1]+=c \\ b[x2+1][y1]-=c \\ b[x1][y2+1]-=c \\ b[x2+1][y2+1]+=c \end{gathered}$$

CODE

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

int n, m, q;
const int N = 1010;
int a[N][N], b[N][N];
int x1, y1, x2, y2, c;

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c){
    b[x1][y1] += c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

int main()
{
    cin >> n >> m >> q;
    
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        for(int j = 1; j <= m; ++j){
            scanf("%d", &a[i][j]);
            insert(i, j, i, j, a[i][j]);
        }
        
    while(q--){
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
        insert(x1, y1, x2, y2, c);
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        for(int j = 1; j <= m; ++j){
            printf("%d ", b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1]);
        }
        printf("\n");   
    }
}