【动态规划】AcWing 2. BackpackProblem01-01背包问题

背包九讲：
01背包问题
完全背包问题
多重背包问题I
多重背包问题II
混合背包问题
二维费用的背包问题
分组背包问题
有依赖的背包问题
背包问题求方案数
背包问题求具体方案
ps：建议从前向后刷哦~

原题

01背包问题
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。
第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0 0 输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
8

题解

先遍历背包容量在内，遍历物品在外
二维状态转移公式为
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - Wight[i - 1]] + Value[i - 1])
每次需要对上一层为未变化的数据基础上变量改变
一维状态转移公式为
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - Wight[i - 1]] + Value[i - 1])
这时遍历背包容量时要从后向前避免重复增加数值

代码

二维数组

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int N = sc.nextInt();
        int V = sc.nextInt();
        int Value[] = new int[N];
        int Wight[] = new int[N];
        for(int i = 0; i < N; i++) {
            Wight[i] = sc.nextInt();
            Value[i] = sc.nextInt();
        }
        int dp[][] = new int[N + 1][V + 1];
        for(int i = 1; i <= N; i++) {
            for(int j = 1; j <= V; j++) {
                if(j - Wight[i - 1] >= 0) dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - Wight[i - 1]] + Value[i - 1]);
                else dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            }
        }
        System.out.println(dp[N][V]);
    }
}

一维数组

import java.util.*;
public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int N = sc.nextInt(), V = sc.nextInt();
        int[] dp = new int[V + 1];
        for(int i = 1; i <= N; i++) {
            int v = sc.nextInt(), w = sc.nextInt();
            for(int j = V; j >= v; j--) {
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - v] + w);
            }
        }
        System.out.println(dp[V]);
    }
}