电机与运动控制笔记整理（三）——异步电机概述

结构特点和工作原理

1. 分类及应用

异步电动机使用交流电源属于交流电动机 ，由于其工作原理也称感应电动机。
异步电动机常见的有单相、两相、三相等，一般用途如下：

• 三相电机：生产中作为动力使用 。
• 两相电机：两相伺服电动机 。
• 单相电机：使用单相电源的家用电器和小设备

2. 结构特点

定子（固定部分）
定子硅钢片冲压而成，硅钢片为软磁材料，磁导率高，磁滞损耗小。定子上绕有铜质绕组。
定子铁心、定子绕组也有三相、两相、单相的区分。

转子（旋转部分）
由铁芯和绕组、转轴构成，有鼠笼式和绕线式两种。铁芯由硅钢片冲制而成。笼式绕组使用较多。

• 笼式：构造简单，工作可靠。
• 绕线式：结构复杂，造价高。

3. 工作原理

如下图，当人为匀速摇动手柄时，由于电磁感应，鼠笼转子也会跟随旋转。当转子和旋转磁铁存在速度差时，转子切割磁感线，转子中产生感应电流，感应电流在磁场中受到电磁力，使得转子运动。也可以使用楞次定律理解此现象。

转子的转速只有在理想空载时才能达到旋转磁场转速$n_s$，在负载时，转子的转速总比$n_s$低。
如果“鼠笼”转速同旋转磁场转速相同，则它相对旋转磁场静止，“鼠笼”条就不再切割旋转的磁通，感应电势也就不能产生，感应电流就没有了，电磁转矩也就随之消失。正是旋转磁场与转子的转速之差，使转子导条能持续产生感应电流，且后者与旋转磁场相互作用，产生一定的电磁转矩，以维持与负载转矩的平衡。这就是“异步”二字的来历。
实际的异步电机，旋转磁场由多相交流电流产生。设旋转磁场的转速为$n_s$；转子绕组的导体处于旋转磁场中将切割磁力线，并感应电势$e=Blv$(方向用右手定则判断)；自成闭路的转子导体将感生电流，则载流的转子导体在旋转磁场中受到电磁力$F=BIl$(方向用左手定则)的作用；电磁力作用在转子上将产生电磁转矩$T$，并驱动转子以转速$n$旋转，以拖动机械负载(电能转换为机械能)。
大致过程：
$$旋转磁场⟹感应电流⟹电磁转矩(与磁场同向)$$
根据以上电磁感应原理，异步电动机也叫感应电动机。
基本结构：旋转磁场加闭合的转子绕组
转子相对于定子滞后的速度，由负载决定。

• 转子速度小于磁场转速，异步。
• 转子速度等于磁场转速，电流和转矩为零。
• 转子速度大于磁场转速，转矩与磁场反向。

旋转磁场

1. 两相电动机相关概念

一相绕组：串联在一起的一组线圈
电机极数：一相绕组通直流电时形成磁场的极数
电角：极对数（p）×机械角º
两相电机：两相绕组轴线的夹角为 90°电角
两相对称绕组：匝数相等，均匀分布
两相对称电流：幅值相等，相位相差90°
$$\begin{array}{lc}& i_c=I_m\sin \omega t\\ & i_f=I_m\sin \left(\omega t-90^{\circ }\right)\end{array}$$

2. 两相对称绕组的磁场

2.1. 两相两极电动机

2.2. 两相四极电动机

电流变化一个周期，磁场转过半圈。一相电流反相，磁场反转。

3. 两相电动机旋转磁场的转速

电流变化一个周期时:
两相两极电机磁场：在空间旋转360º机械角——360º电角。
两相四极电机磁场：在空间旋转180º机械角——360º电角。

结论：电流变化一个周期，两相绕组磁场在空间旋转360º电角。
设两相绕组极对数为$p$，电源频率是$f$Hz 。
旋转磁场的转速（同步转速 ）$n_s=\frac{60f}{p}r/min$

4. 三相电动机的旋转磁场

定子转子
转子有鼠笼型和绕线式两种。
鼠笼式电动机结构简单，价格低廉，工作可靠，使用方便，成为工业生产中应用最广泛的电动机。
绕线式异步电动机用于对起动、转矩、调速有特殊要求的场合。
定子绕组是三组相同的绕组，均匀分布，相差120º电角——三相对称绕组。

三相对称电流
$$\begin{array}{rl}& i_A=I_m\sin \omega t\\ & i_B=I_m\sin \left(\omega t-120^{\circ }\right)\\ & i_C=I_m\sin \left(\omega t+120^{\circ }\right)\end{array}$$

三相电流流过三相绕组产生旋转磁场 。电流变化1/4周期，磁场转1/4周。
$$n_s=\frac{60f}{p}r/min$$
任意二相的端子与电源的连接互换，旋转方向改变。

交流绕组磁场分析

1. 单相绕组的脉振磁场

1.1. 磁势与磁通

绕组中通电后就会产生磁势，磁势在磁路中会产生磁通（磁通=磁势/磁阻）。由于铁磁物质存在磁饱和现象，且磁导率是变化的，因而磁阻是变化的。
结论：磁势可以叠加，符合叠加原理；但磁通不满足叠加原理（只有在磁场不饱和时近似满足）。
交流异步电机的磁通由主磁通和定子、转子的漏磁通两部分构成。

1.2. 概念

极矩：电机定子内圆上相邻异性磁极沿内圆表面的距离
节距：定子上一个绕组线圈两边的距离，节距等于极矩为整矩线圈，节距小于极矩为短矩线圈
集中绕组：绕组的两边分别放在一个槽中

1.3. 特性

线圈的匝数$W_x$，线圈的电流为$i$。磁路磁势$F=W_{x}i$
气隙磁阻远大于铁心磁阻，磁势全部落入气隙。磁通两次穿过气隙，每一次穿越气隙的磁势$F=\frac{W_{x}i}{2}$
定义转子进入定子的磁势为正，反之为负，当线圈中通直流电，直流的磁势是位置固定的方波。

当线圈通过交流电$i=\sqrt{2}I\sin \omega t$，气隙磁势振幅$F=\frac{\sqrt{2}}{2}{W}_{x}I\sin \omega t$

交流磁势是方波，位置固定，振幅的大小和正负随时间做周期变化，频率与电流相同。
波形空间位置固定，振幅随时间变化的磁势称为脉动磁势，该磁势建立的磁场为脉动磁场。
脉动磁势的频率为电流频率。

方波分解为傅里叶级数
$$F(x)=\frac{4}{\pi }\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}{W}_{x}I\sin \omega t\left(\cos x-\frac{1}{3}\cos 3x+\frac{1}{5}\cos 5x-\frac{1}{7}\cos 7x+\cdots \right)=0.9W_{x}I\sin \omega t\sum _{i=1}^{\infty }\frac{1}{i}\sin \frac{\pi }{2}\cos ix$$
基波
$$F_1(x)=0.9W_{x}I\sin \omega t\cos x=A_1\sin \omega t\cos x$$
基波振幅
$$F_{1m}(x)=0.9W_{x}I\sin \omega t$$
$$F=\frac{\sqrt{2}}{2}{W}_{x}I\sin \omega t$$
第i次谐波的最大幅值是基波最大幅值的1/i倍，频率是基波频率的i倍。

脉振物理量是空间和时间的函数，空间的位置（最大值或波形对称轴的位置 ）固定，振幅的大小和正负随时间周期变化。
交流电的磁势是脉振磁势，基波和谐波都是脉振磁势。
脉振磁势的典型表达式 $F_1=A_1\sin \omega t\cos x$
在任何时刻，在空间都按余弦规律分布。磁势分布曲线峰值的位置$\cos x=1$，即$x=0$，位置始终不变。磁势幅值的大小$A_1\sin \omega t$和符号随时间周期变化。

1.4. 单相分布绕组

分布绕组：由$q$个绕组串联而成,分布在$q$个连续槽中。
单相分布绕组的磁势为各集中绕组磁势之和。单相分布绕组的磁场是阶梯波，脉振磁场。
有$q$个线圈分布在$q$个槽中，每个槽中有$W_x$匝，傅里叶级数
$$0.9q{W}_{x}I\sin \omega t\left(k_{b1}\cos x-\frac{1}{3}{k}_{b3}\cos 3x+\frac{1}{5}{k}_{b5}\cos 5x-\frac{1}{7}{k}_{b7}\cos 7x+\cdots \right)$$
基波
$$F_1=0.9q{W}_{x}I{k}_{b1}\sin \omega t\cos x=0.9\frac{W}{p}I{k}_{b1}\sin \omega t\cos x=kWI\sin \omega t\cos x=A_1\sin \omega t\cos x$$
式中 $W$ 为每相绕组匝数; $p$ 为极对数; $A_1$ 为基波磁势的最大值。
如果绕组电流为 $i=\sqrt{2}I\sin (\omega t-\theta )$, 绕组轴线的位置 (即磁势分布曲线幅值的位置) 是 $x_0$ ，则磁势的基波分量 $F_1$ 为
$$F_1=kWI\sin (\omega t-\theta )\cos \left(x-x_0\right)=A_1\sin (\omega t-\theta )\cos \left(x-x_0\right)$$

1.5. 结论

1. 单相绕组通入交流电流产生的磁势是一个脉冲磁势。它既是时间的函数，又是空间位置的函数。
2. 脉振磁势的基波在空间为余弦分布，基波幅值位

3. 脉振磁势分解与旋转磁势

3.1. 脉振磁势分解

$$F_1=A_{1}sin\omega tcosx=\frac{1}{2}{A}_{1}sin(\omega t-x)+\frac{1}{2}{A}_{1}sin(\omega t+x)=F_1^{+}+F_1^{-}$$
$$F_1^{+}=\frac{1}{2}{A}_{1}sin(\omega t-x)F_1^{-}=\frac{1}{2}{A}_{1}sin(\omega t+x)$$
以$F_1^{+}$为例进行分析，$F_1^{-}$同理

当时间一定时，$F_1^{+}$是一个空间正弦波，其幅值为$\frac{1}{2}{A}_1$；
当空间位置一定时，$F_1^{+}$是一个时间的正弦波，幅值是$\frac{1}{2}{A}_1$，表示某一固定点处随时间按正弦规律脉振的磁势。
磁势波形峰值处的点，即$F_1^{+}=\frac{1}{2}{A}_1$的点，这时有$\omega t-x=\frac{\pi }{2}$，则$x=\omega t-\frac{\pi }{2}$。波形峰值的位置随时间而变化，其中$x$代表电角。

3.2. 旋转磁势

旋转的角速度（电角）为$\frac{dx}{dt}=\omega rad/s$
转速为正，$F_1^{+}$称为正向旋转的磁场。
因为一个圆周为$2\pi prad$（电角），所以该磁势波旋转的速度可表示为
$$n_s=\frac{\omega }{2\pi p}r/s=\frac{f}{p}r/s=60\frac{f}{p}r/min$$
式中$\omega$和$f$分别为电流的角频率和频率。

同理可分析出$F_1^{-}=\frac{1}{2}{A}_{1}sin(\omega t+x)$是一个反向旋转的磁势波，其幅值与旋转速度值和$F_1^{+}$ 相同。

3.3. 结论

脉振磁势可以分解为两个速度相同但方向相反的旋转磁势，每一旋转磁势振幅的大小不变，为原来脉振磁势最大值的一半。

4. 两相绕组的圆形旋转磁场

圆形旋转磁场：磁势向量的端点在空间描绘出一个圆。
两相绕组产生圆形旋转磁场的条件

• 两相正弦脉振磁势在空间相差90°电角，幅值在时间上相差90°，最大值相等即$W_c{I}_c=W_f{I}_f$
• 电流$I_c$、$I_f$相位差是90º且$i_c=\sqrt{2}{I}_{c}sin\omega t$，$i_f=\sqrt{2}{I}_{f}sin(\omega t-90^{\circ })$。

两相正弦脉振磁势
$$\begin{array}{ll}{F}_c& =K{W}_c{I}_{c}sin\omega tcosx\\ F_f& =K{W}_f{I}_{f}sin(\omega t-90^{\circ })cos(x-90^{\circ })\end{array}$$

同样，对称的m相绕组（m＞2 ) 流过对称的m相电流，合成磁势为一圆形旋转磁势，其幅值为每相脉振磁势最大值的$\frac{m}{2}$ 倍。转速为$60\frac{f}{p}r/min$。
异步电动机在圆形磁场作用下的运行状态又称对称状态。可以证明，多相对称绕组加上多相对称电压时，产生圆形旋转磁场。

用数学方法证明圆形旋转磁场
设两相绕组的匝数分别为$W_c$和$W_f$，电流分别为$i_c$和$i_f$，基波磁势为$F_c$和$F_f$，设c绕组轴线的位置是0°，f绕组轴线的位置是90°。
$$\begin{array}{ll}{i}_c=\surd 2I_{c}sin\omega t& i_f=\surd 2I_{f}sin(\omega t-90^{\circ })\\ F_c=K{W}_c{I}_{c}sin\omega tcosx& F_f=K{W}_f{I}_{f}sin(\omega t-90^{\circ })cos(x-90^{\circ })\\ F_c=1/2K{W}_c{I}_{c}sin(\omega t-x)+1/2K{W}_c{I}_{c}sin(\omega t+x)& F_f=1/2K{W}_f{I}_{f}sin(\omega t-x)-1/2K{W}_f{I}_{f}sin(\omega t+x)\end{array}$$
若$W_c{I}_c=W_f{I}_f$
则$F=F_c+F_f=K{W}_f{I}_{f}sin(\omega t-x)+K{W}_c{I}_{c}sin(\omega t-x)=F_{m}sin(\omega t-x)$
旋转磁场转速$n_s=60\frac{f}{p}r/min$

5. 两相绕组的非圆形旋转磁场

非圆形旋转磁场：脉振磁场和椭圆旋转磁场

5.1. 相位差和磁场

1. 两相对称绕组电流相位相同，产生脉振磁场。
2. 两相绕组电流相位差等于90º，产生圆形旋转磁场。
3. 两相绕组电流相位差不是90º，形成旋转磁场，但磁密向量$B$或磁势向量$F$的端点轨迹是椭圆，称为椭圆旋转磁场。
   椭圆度$\alpha =\frac{B_{cm}}{B_{fm}}$，$B_{cm}$和$B_{fm}$分别是两相电流产生的磁场幅值。
   相位差越偏离90º，α越小，椭圆度越大。

5.2. 特点

转向
与圆形旋转磁场相同。
幅值
磁密幅值不断变化。
若α<1，幅值变化范围从$\alpha B_{fm}$至$B_{fm}$。当α＝0时变成脉振磁场，当α＝1时变成圆形旋转磁场。

α	磁场
<1	幅值从$\alpha B_{fm}$至$B_{fm}$
0	脉振磁场
1	圆形旋转磁场

转速
电流变化一个周期，磁场在空间旋转了360º电角，平均转速是$60\frac{f}{p}r/min$。但椭圆旋转磁场的瞬时转速是变化的。

异步电动机的主要特性

1. 转速和转差率

异步电动机的转速可由此式表达
$$n=n_s(1-s)$$
其中$n$是转子转速，$n_s$是磁场（同步）转速，$s=\frac{n_s-n}{n_s}$是转差率

转差率S反映了转子相对于磁场转动的快慢：

转差率S	转速	状态
S<0	大于同步转速	发电机
S=0	同步转速	理想空载
0	同向转	电动机
S=1	不转	堵转
S>1	反转	反接制动

2. 基本方程

异步电动机基本方程与变压器（堵转状态）类似。部分字母下标解释如下。

字母	含义
F	磁势
I	电流
W	线圈匝数（电机）
N	线圈匝数（变压器）
k	线圈匝数比

下标	含义
0	励磁（激磁）
1	定子（原线圈）
2	转子（副线圈）
m	机械
em	电磁

2.1. 异步电动机

磁势平衡方程式、电流平衡方程
气隙磁势是定子磁势和转子磁势的和。

变量	含义	变量	含义
$F_0$	激磁磁势	$I_0$	励磁电流
$F_1$	定子磁势	$I_1$	定子电流
$F_2$	转子磁势	$I_2$	转子电流

$$\begin{array}{ll}{F}_0& =F_1+F_2\\ I_0& =I_1+\frac{I_2}{k_i}\\ k_i& =\frac{m_1{W}_1}{m_2{W}_2}\end{array}$$
气隙磁势、磁密
正向圆形旋转的气隙磁势和磁密
$$\begin{array}{ll}{F}_0& =H\delta =\frac{\beta \delta }{{\mu }_0}\\ F_0& =F_{m}sin(\omega t-x)\\ B& =\frac{{\mu }_0}{\delta }{F}_{m}sin(\omega t-x)=B_{m}sin(\omega t-x)\end{array}$$

2.2. 变压器

输入、输出电压比
$$\frac{U_1}{U_{20}}=\frac{E_1}{E_2}=\frac{N_1}{N_2}=k$$

磁势平衡方程、电流平衡方程
磁势$F=NI$
负载后，原边电流增加（因为输出功率），副边产生电流，则铁心中的合成磁场（由原边磁场和副边磁场叠加）的磁势为：${\dot{F}}_0={\dot{F}}_1+{\dot{F}}_2$（磁势平衡方程）
为使主磁通在加负载后不变，有${\dot{F}}_0={\dot{F}}_1+{\dot{F}}_2\Rightarrow N1\cdot {\dot{I}}_1+N2\cdot {\dot{I}}_2=N1\cdot {\dot{I}}_0$

即${\dot{I}}_1+\frac{{\dot{I}}_2}{k}={\dot{I}}_0$(电流平衡方程)
令${\dot{I}}_L=-\frac{{\dot{I}}_2}{k}$
则${\dot{I}}_1={\dot{I}}_0+{\dot{I}}_L$
${\dot{I}}_0$激磁电流，${\dot{I}}_L$负载分量

3. 励磁电流与激磁磁势

1. 空载运行时, 转子电流近似为 0 , 定子电流等于励磁电流；负载时，定子电流随负载的增大而增大。
2. 空载运行时, 激磁磁势全部由定子磁势提供; 负载运行 时, 转子绕组中有电流 $I_2$流过产生一个同步旋转磁势$F_2$, 为 了保持原$F_0$不变, 定子磁势$F_1$除了提供激磁磁势$F_0$外, 还必须抵消转子磁势$F_2$的影响。

4. 定、转子导体中的感应电势及其频率

4.1. 定子

在气隙磁场中任一位置x的导体中产生的感应电势为
$$e=Blv=lv{B}_{m}sin(\omega t-x)=e_{m}sin(\omega t-x)$$
因而，定子绕组感应电势的频率与电源相同。

4.2. 转子

假定转子不动，则旋转磁场相对转速为$n_s-n=n_s-(1-s)n_s=s{n}_s$
$$\begin{array}{l}{e}_2=e_{2m}sin(s\omega t-x_0)\\ e_{2m}=s{e}_{2m0}\end{array}$$
因而，转子绕组感应电势频率为电源频率的s倍,幅值为静止时的s倍。
转子电流频率为 ：$s\ast f$
转子电流产生的旋转磁势相对于转子的速度为$\frac{60f_2}{p}=s{n}_{s}r/min$。转子自身以转速$n$向同方向旋转，故转子电流的旋转磁势的转速$n_s=s{n}_s+n=\frac{n_s-n}{n_s}{n}_s+n$

5. 电压平衡方程式

五、电压平衡方程式 从物理角度看, 定子和转子等效电路如图。

转差率为$s$时感应电势和漏电抗为 $E_{2s}$和$x_{2s}$,
$$\begin{array}{l}{E}_{2s}=s{E}_2\\ x_{2s}=s{x}_2\end{array}$$
$s=1$时 (转子不动)$E_2$、$x_2$ 有
$$\begin{array}{l}{x}_2=\omega L_2\\ E_2\propto \omega \end{array}$$
根据基尔霍夫电压定律可得
$$U_1=-E_1+I_1\left(r_1+j{x}_1\right)E_{2s}=I_2{r}_2+j{I}_2{x}_{2s}$$

6. 频率折算

电机旋转时定子、转子的反电动势不是同频率的，难以直接求解。
频率折算即将定子、转子有相对转动的情况折算为二者相对静止的状态，使得两个反电动势同频率，问题转化为静态的“变压器”问题。
折算的准则：折算后，转子电流大小不变，则由电流平衡方程知，折算后对定子电流无影响。
$E_{2s}=I_2{r}_2+j{x}_{2s}{I}_2⟹I_2=\frac{E_{2s}}{r_2+j{x}_{2s}}=\frac{s{E}_2}{r_2+js{x}_2}=\frac{E_2}{\frac{r_2}{s}+j{x}_2}=\frac{E_2}{(r_2+\frac{1-s}{s}{r}_2)+j{x}_2}$

7. 等效电路图

一台以转差率$s$旋转的异步电机的转子电路，可以用一台静止电机的转子电路表示，只需在原电路中串接一个虚拟电阻。
虚拟电阻上消耗的电功率，等于实际电机转动时输出的机械功率。

为得到等效电路，还需进行绕组折算，即将绕组物理量折算到定子上，得到等效电路。
参数对应定子一相绕组。电阻$r_1$吸收的电能为定子铜耗。$r_m$吸收的电能代表铁心损耗。$r_2^{\prime }$吸收的电能称为转子铜耗。电阻$\frac{1-s}{s}{r}_2^{\prime }$吸收的电功率表示一相定子绕组产生的机械功率。

8. 圆形旋转磁场的电磁转矩

计算电磁转矩有两种方法。
1）$F=BIl$叠加。
2）等效电路求机械功率，再求转矩。
转矩的物理表达式$T=C_1{\Phi }_m{I}_{2}cos{\varphi }_2$
电磁转矩的参数表达式
$$T=\frac{m_{1}p{U}_1^2\frac{r_2^{\prime }}{s}}{2\pi f_1\left[{\left(r_1+\frac{r_2^{\prime }}{s}\right)}^2+{\left(x_1+x^{\prime }{}_2\right)}^2\right]}$$

式中
$U_1$加在定子绕组上的相电压
$m_1$定子相数
$f_1$电源频率
$r_1$ 定子一相的电阻
$x_1$定子一相的漏抗
$r_2^{\prime }$转子一相的折算电阻
$x_2^{\prime }$转子不动时转子一相绕组的折算漏抗
$p$极对数
$s$转差率
由电磁转矩的参数表达式可以看出：

1. 当转差率不变时，电磁转矩与电机外加电压的平方成正比；
2. 电压、频率不变时，电磁转矩仅与转差率有关；
3. 转矩-转差率函数关系曲线表征异步电动机的机械特性。