模拟退火算法应用——求解一元函数的最小值

仅作自己学习使用

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一、问题

需求： 计算函数

的极小值，其中个体x的维数n=10，即x=(x1,x2,…,x10)，其中每一个分量xi均需在[-20,20]内。因此可以知道，这个函数只有一个极小值点x = (0,0,…,0)，且其极小值是0，那么我们用模拟退火来实现一下：

二、matlab代码实现

clear
clc

T1 = cputime;

D = 10;     % 变量维数
Xs = 20;    % 上限
Xx = -20;   % 下限
L = 20;     % 马尔可夫链长度
K = 0.98;   % 降温系数
S = 0.01;   % 步长因子
T = 100;    % 初始温度
YZ = 1e-8;  % 容差
P = 0;      % MetroPolis过程中总接受点（MetroPolis是接受准则，小于接受，大于是概率接受）
PreX = rand(D,1)*(Xs-Xx) + Xx;     % 设置初值位置(这个随机数可以产生一个-20到20的随机数)
PreBestX = PreX;    % 上一个最优解
PreX = rand(D,1)*(Xs-Xx) + Xx;     % 虽然代码相同，但是因为随机数种子，产生的值会不同 
BestX = PreX;       % 最优解
trace = eval(BestX); % 记录初始值
deta = abs(eval(BestX) - eval(PreBestX));

while (deta>YZ) && (T>0.0001)
    %% 在当前温度T下的迭代次数为L
    for i = 1 : L
        % 在此点附近随机选择下一个点
        NextX = PreX + S*(rand(D,1)*(Xs-Xx) + Xx);
        % 如果这个点其中有个分量超出了定义域，则重新分配一个值
        for j = 1:D
            if(NextX(j) > Xs || NextX(j)<Xx)
                NextX(j) = PreX(j) + S*(rand*(Xs-Xx) + Xx);
                j = j-1; % 因为重新分配的值任然可能超出边界，所以退回到当前的那个j,再次检查是否超出边界
            end   
        end
        %% 判断是否是全局最优解
        if( eval(NextX) < eval(BestX) )
            PreBestX = BestX;   % 保留上一个最优解
            BestX = NextX;      % 更新上一个最优解
        end
        %% MetroPolis接受准则
        if( eval(NextX) < eval(PreX) )
            % 当前解更优秀，接受新解
            PreX = NextX;
            P = P + 1;
        else
            % 当前解更差，概率接受
            P1 = exp((eval(PreX)-eval(NextX))/T); % 注意指数部分是个复数，所以要自己调整减的顺序
            if (P1 > rand)
                PreX = NextX;
                P = P + 1;
            end 
        end
        trace = [trace eval(BestX)];
    end
    deta = abs(eval(BestX)-eval(PreBestX));
    %% 本次退火结束，降温
    T = K * T;
end

T2 = cputime;
% 运行代码所需要的CPU时间
timeConsume = T2 - T1;

disp('最小值点在：');
BestX
disp('最小值为');
eval(BestX)
figure(color=[1 1 1])
plot(trace(2:end),Color=[0.502, 0.000, 0.502],LineWidth=2);
xlabel("迭代次数")
ylabel("目标函数值")
title("适应度曲线","CPU时间消耗: "+timeConsume + 's');


function result = eval(x)
    %% 评估函数
    result = sum(x.^2);
end

三、效果图

可以看到，最后是达到0.0269403，还不是真正意义上的极小值，因为模拟退火算法是模拟固体退火的原理，其结果的好坏与退温系数非常相关，温度下降得越慢，结果越精确。但是代码中有一个问题，也就是NextX = PreX + S*(rand(D,1)*(Xs-Xx) + Xx);这行代码，非常清楚的看到这下一个X的跳动范围是与温度无关的，但是根据物理退火的过程，温度越高，分子越活跃，对应退火模型中的x应该跳动范围更大，所以这行代码应该是值得改进的，比如改成：NextX = PreX + T*(rand(D,1)*(Xs-Xx) + Xx);但是这样又会极大的增加搜索时间。
        如果有朋友有其他的方案，欢迎大家在评论区留言。