合并区间[中等]

一、题目

以数组intervals表示若干个区间的集合，其中单个区间为intervals[i] = [starti, endi]。请你合并所有重叠的区间，并返回一个不重叠的区间数组，该数组需恰好覆盖输入中的所有区间。

示例 1：
输入：intervals = [[1,3],[2,6],[8,10],[15,18]]
输出：[[1,6],[8,10],[15,18]]
解释：区间[1,3]和[2,6]重叠, 将它们合并为[1,6].

示例 2：
输入：intervals = [[1,4],[4,5]]
输出：[[1,5]]
解释：区间[1,4]和[4,5]可被视为重叠区间。

1 <= intervals.length <= 104
intervals[i].length == 2
0 <= starti <= endi <= 104

二、代码

排序： 如果我们按照区间的左端点排序，那么在排完序的列表中，可以合并的区间一定是连续的。如下图所示，标记为蓝色、黄色和绿色的区间分别可以合并成一个大区间，它们在排完序的列表中是连续的：

算法： 我们用数组merged存储最终的答案。首先，我们将列表中的区间按照左端点升序排序。然后我们将第一个区间加入merged数组中，并按顺序依次考虑之后的每个区间：
【1】如果当前区间的左端点在数组merged中最后一个区间的右端点之后，那么它们不会重合，我们可以直接将这个区间加入数组merged的末尾；
【2】否则，它们重合，我们需要用当前区间的右端点更新数组merged中最后一个区间的右端点，将其置为二者的较大值。

正确性证明： 上述算法的正确性可以用反证法来证明：在排完序后的数组中，两个本应合并的区间没能被合并，那么说明存在这样的三元组(i,j,k)以及数组中的三个区间a[i],a[j],a[k]满足i并且(a[i],a[k])可以合并，但(a[i],a[j])和(a[j],a[k])不能合并。这说明它们满足下面的不等式：
a[i].end和a[j]不能合并)
a[j].end和a[k]不能合并)
a[i].end≥a[k].start(a[i]和a[k]可以合并)
我们联立这些不等式（注意还有一个显然的不等式a[j].start≤a[j].end，可以得到：a[i].end产生了矛盾！这说明假设是不成立的。因此，所有能够合并的区间都必然是连续的。

class Solution {
    public int[][] merge(int[][] intervals) {
        if (intervals.length == 0) {
            return new int[0][2];
        }
        Arrays.sort(intervals, new Comparator<int[]>() {
            public int compare(int[] interval1, int[] interval2) {
                return interval1[0] - interval2[0];
            }
        });
        List<int[]> merged = new ArrayList<int[]>();
        for (int i = 0; i < intervals.length; ++i) {
            int L = intervals[i][0], R = intervals[i][1];
            if (merged.size() == 0 || merged.get(merged.size() - 1)[1] < L) {
                merged.add(new int[]{L, R});
            } else {
                merged.get(merged.size() - 1)[1] = Math.max(merged.get(merged.size() - 1)[1], R);
            }
        }
        return merged.toArray(new int[merged.size()][]);
    }
}

时间复杂度： O(nlog⁡n)，其中n为区间的数量。除去排序的开销，我们只需要一次线性扫描，所以主要的时间开销是排序的O(nlog⁡n)。
空间复杂度： O(log⁡n)，其中n为区间的数量。这里计算的是存储答案之外，使用的额外空间。O(log⁡n)即为排序所需要的空间复杂度。