【代码随想录】d43-动态规划-part03-python

1.343. 整数拆分

1.1题目及讲解

给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。
返回 你可以获得的最大乘积 。

示例 1:

• 输入: n = 2
• 输出: 1
• 解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

• 输入: n = 10
• 输出: 36
• 解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

提示:

• 2 <= n <= 58

题目链接/文章讲解：https://programmercarl.com/0343.%E6%95%B4%E6%95%B0%E6%8B%86%E5%88%86.html
视频讲解：https://www.bilibili.com/video/BV1Mg411q7YJ

1.2代码实现

思路：

1. 确定dp数组以及下标的含义
   拆分数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]
2. 确定递推公式
   如何获取乘积？
   从1遍历j，然后有两种渠道得到dp[i].
   一个是j * (i - j) 直接相乘。
   一个是j * dp[i - j]，相当于是拆分(i - j)
   j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘，而j * dp[i - j]是拆分成两个以及两个以上的个数相乘。
   如果定义dp[i - j] * dp[j] 也是默认将一个数强制拆成4份以及4份以上了。
   所以递推公式：dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j});
   在取最大值的时候，为什么还要比较dp[i]呢？
   因为在递推公式推导的过程中，每次计算dp[i]要取最大的。
3. dp数组初始化
   dp[0]和dp[1]都无法拆分，没有意义，直接初始化dp[2] = 1即可
4. 确定遍历顺序
   先来看看递归公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
   dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]
5. 举例推导dp数组
   

n = 10


def fun():
    dp = [0] * (n+1)   # 创建一个大小为n+1的数组来存储计算结果
    dp[2] = 1  # 初始化dp[2]为1，因为当n=2时，只有一个切割方式1+1=2，乘积为1
    for i in range(3,n+1):   # 从3开始计算，直到n
        # 固定i，拆分i得到i的最大乘积
        for j in range(1,i):  # 遍历所有可能的切割点
            # 计算切割点j和剩余部分(i-j)的乘积，并与之前的结果进行比较取较大值
            # 假设对正整数 i 拆分出的第一个正整数是 j（1 <= j < i），则有以下两种方案：
            # 1) 将 i 拆分成 j 和 i−j 的和，且 i−j 不再拆分成多个正整数，此时的乘积是 j * (i-j)
            # 2) 将 i 拆分成 j 和 i−j 的和，且 i−j 继续拆分成多个正整数，此时的乘积是 j * dp[i-j]
            # max里面要加dp[i]是因为拆分不止一种结果，dp[i]有多个结果，取下一个拆分结果时还要和上一次拆分出来的结果比较，上次的结果也是dp[i]
            dp[i] = max(j*(i-j),j*dp[i-j],dp[i])
    return dp[n]


print(fun())

2.96. 不同的二叉搜索树

2.1题目及讲解

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1：

• 输入：n = 3
• 输出：5

示例 2：

• 输入：n = 1
• 输出：1

提示：

• 1 <= n <= 19

题目链接/文章讲解：https://programmercarl.com/0096.%E4%B8%8D%E5%90%8C%E7%9A%84%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%90%9C%E7%B4%A2%E6%A0%91.html
视频讲解：https://www.bilibili.com/video/BV1eK411o7QA

2.2代码实现

分析过程（摘自代码随想录）：

n为1的时候有一棵树，n为2有两棵树，这个是很直观的。

来看看n为3的时候，有哪几种情况。

• 当1为头结点的时候，其右子树有两个节点，看这两个节点的布局，是不是和 n 为2的时候两棵树的布局是一样的啊！
  （可能有同学问了，这布局不一样啊，节点数值都不一样。别忘了我们就是求不同树的数量，并不用把搜索树都列出来，所以不用关心其具体数值的差异）
• 当3为头结点的时候，其左子树有两个节点，看这两个节点的布局，是不是和n为2的时候两棵树的布局也是一样的啊！
• 当2为头结点的时候，其左右子树都只有一个节点，布局是不是和n为1的时候只有一棵树的布局也是一样的啊！

到这里，其实就找到了重叠子问题了，其实也就是发现可以通过dp[1] 和 dp[2] 来推导出来dp[3]的某种方式。
思考到这里，这道题目就有眉目了。

dp[3]，就是 元素1为头结点搜索树的数量 + 元素2为头结点搜索树的数量 + 元素3为头结点搜索树的数量

• 元素1为头结点搜索树的数量 = 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量
• 元素2为头结点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量
• 元素3为头结点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量

有2个元素的搜索树数量就是dp[2]。
有1个元素的搜索树数量就是dp[1]。
有0个元素的搜索树数量就是dp[0]。
所以dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2]
如图所示：

此时我们已经找到递推关系了，那么可以用动规五部曲再系统分析一遍。
动规五部曲分析：

1. 确定dp数组以及下标的含义
   dp[i] ： 1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]

2. 确定递推公式
   dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]
   j相当于是头结点的元素，从1遍历到i为止
   所以递推公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ，j-1 为j为头结点左子树节点数量，i-j 为以j为头结点右子树节点数量

3. dp数组初始化
   初始化，只需要初始化dp[0]就可以了，推导的基础，都是dp[0]。
   那么dp[0]应该是多少呢？

   • 从定义上来讲，空节点也是一棵二叉树，也是一棵二叉搜索树，这是可以说得通的。
   • 从递归公式上来讲，dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量] 中以j为头结点左子树节点数量为0，也需要dp[以j为头结点左子树节点数量] = 1， 否则乘法的结果就都变成0了。
     所以初始化dp[0] = 1

4. 确定遍历顺序
   首先一定是遍历节点数，从递归公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出，节点数为i的状态是依靠 i之前节点数的状态。
   那么遍历i里面每一个数作为头结点的状态，用j来遍历。

5. 举例推导dp数组
   

n = 3


def fun():
    dp = [0]*(n+1)
    dp[0] = 1
    for i in range(1,n+1):
        for j in range(1,i+1):
            dp[i] += dp[j-1] * dp[i-j]
    print(dp)
    return dp[n]


print(fun())