研习代码 day39 | 动态规划——完全背包的应用
一、爬楼梯（进阶版）
1.1 题目
题目描述
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬至多m (1 <= m < n)个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。
输入描述
输入共一行，包含两个正整数，分别表示n, m
输出描述
输出一个整数，表示爬到楼顶的方法数。
输入示例
3 2输出示例
31.2 题目链接
57.爬楼梯
1.3 解题思路与过程想法
（1）解题思路
# 分析：这道题是 70.爬楼梯 的进阶版，对于每次爬楼的最多阶数是个不定值 n。是个典型的背包的排列问题。
排列问题：1+2+1 和 2+1+1 是两种不同方法
数组：爬到 i 阶，有 dp[i] 种方法
递推关系：求组成的方法数——————dp[j] += dp[j-i]，
求背包装载的最大“价值” ——dp[j] = max(dp[j], dp[j-weight[i]]+value[i])
求背包装载的最少“数量” ——dp[j] = min(dp[j], dp[j-weight[i]]+1)
初始化：求组成的方法数——dp[0] = 1
其他值初始化———初始化不影响覆盖的值，求最大-->初始化最小；
求最小-->初始化无穷大值
遍历顺序：因为是排列问题，所以先遍历背包容量，后遍历物体
此处 weight[i] 对应着 本次爬楼的阶数
value[i] 对应着 一次爬楼
（2）过程想法
比较经典，思路也比较好想，但需注意是排列问题
1.4 代码
def up(n,m) -> int:
# 物品是每次爬的楼梯数，可重复---->完全背包
# 背包容量 n，物品 1~m
# 数组：爬到 i 阶，有 dp[i] 种方法
dp = [0] * (n+1)
# 递推关系：dp[j] += dp[j-i]
# 初始化：求方法数，一般初始化 dp[0] = 1，若是0则后续将全是 0
dp[0] = 1
for j in range(1,n+1): # 遍历背包
for i in range(1,m+1): # 遍历物体
if j >= i:
dp[j] += dp[j-i]
return dp[n]
if __name__ == "__main__":
# 从键盘端一次性连续读取两个数字
inputs = input()
# 将输入拆分为两个数字
num1, num2 = map(int, inputs.split())
print(up(num1,num2))二、零钱兑换
2.1 题目
给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。
计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。
你可以认为每种硬币的数量是无限的。
示例 1：
输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11 输出：3 解释：11 = 5 + 5 + 1
示例 2：
输入：coins = [2], amount = 3 输出：-1
示例 3：
输入：coins = [1], amount = 0 输出：0
提示：
1 <= coins.length <= 121 <= coins[i] <= 2^31 - 10 <= amount <= 10^4
2.2 题目链接
322.零钱兑换
2.3 解题思路与过程想法
（1）解题思路
# 数组：构成总金额 j 所需的最少硬币数 dp[j]
# 初始化：初始一个不会覆盖其他值的原始值（求最小，赋无穷大）
# 递推关系：dp[j] = min(dp[j],dp[j-coin]+1)
# 完全背包的组合问题：先遍历物体，后遍历背包容量
（2）过程想法
针对纯完全背包问题变化不是很大，代码比较好写
2.4 代码
class Solution:
def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
# 完全背包：组合问题
# 数组：构成总金额 j 所需的最少硬币数 dp[j]
# 初始化：初始一个不会覆盖其他值的原始值
dp = [float('inf')] * (amount+1)
# 递推关系：dp[j] = min(dp[j],dp[j-coin]+1)
# 初始化
dp[0] = 0
# 举例递推
for coin in coins: # 遍历物品
for j in range(coin,amount+1): # 遍历背包
dp[j] = min(dp[j],dp[j-coin]+1)
return dp[amount] if dp[amount] != float('inf') else -1三、完全平方数
3.1 题目
给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。
完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。
示例 1：
输入：n = 12 输出：3 解释：12 = 4 + 4 + 4
示例 2：
输入：n = 13 输出：2 解释：13 = 4 + 9
提示：
1 <= n <= 10^4
3.2 题目链接
279.完全平方数
3.3 解题思路与过程想法
（1）解题思路
分析：整个题目的变体主要在于“完全平方数”，为了便于遍历，以其需“平方”的数为遍历数。
# 数组：i 最少可由 dp[i] 个完全平方数组成
# 初始化：初始一个不会覆盖其他值的原始值（求最小，赋无穷大）
# 递推关系：dp[j] = min(dp[j],dp[j-i*i]+1)
# 完全背包的组合问题：先遍历物体，后遍历背包容量
（2）过程想法
分析出变化的关系，代码是很好写的
3.4 代码
class Solution:
def numSquares(self, n: int) -> int:
# 完全背包问题-组合问题
# 数组：i 最少可由 dp[i] 个完全平方数组成
dp = [float('inf')] * (n+1)
# 递推关系：dp[j] = min(dp[j],dp[j-i*i]+1)
# 初始化
dp[0] = 0
for i in range(n//2+1): # 遍历物体
for j in range(i*i,n+1): # 遍历背包
dp[j] = min(dp[j], dp[j - i*i]+1)
# 处理边界情况
return dp[n] if n != 1 else 1