动态规划算法详解进阶篇

目录

动态规划算法优化

一维 —> 常量

leetcode70题.爬楼梯

二维 —>一维

leetcode62题.不同路径

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动态规划算法优化

优化的原则如下：

1、把一维数组优化为常量

2、把二维数组优化为一维

优化的核心：画图辅助

一维 —> 常量

leetcode70题.爬楼梯

70. 爬楼梯 - 力扣（LeetCode）

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例 1：

输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例 2：

输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

提示：

• 1 <= n <= 45

 当我们画一个跳楼梯的数组时我们会发现，dp[i]的值只跟dp[i - 1]和dp[i - 2]的值有关，所以我们可以用a,b,c三个变量动态保存dp[i - 1]和dp[i - 2]的值。这样的代码空间复杂度会大大降低。

class Solution {
    /*动态规划三部曲
        第一步：
        dp[i]数组含义：表示爬到第i个台阶时，一共有dp[i]种爬法。

        第二步：求关系时
        dp[i] dp[i-1] dp[i-2]
        要么是从i-1跳上来 要么就是从i-2跳上来的 
        dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];

        第三步：初始值
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1
        dp[2] = 2;

    */
    public int climbStairs(int n) {

        if(n <= 1){
            return 1;
        }

        //int[] dp = new int[n+1];
        int a = 1;
        int b = 1;
        int c = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i++){
            c = a + b;
            a = b;
            b = c;
        }

        return c;
    }
}

二维 —>一维

leetcode62题.不同路径

62. 不同路径 - 力扣（LeetCode）

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 109

由dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]画一个二维数组可知，我们计算第i行时只用到了i - 1这一行的数据，所以我们只需要动态利用i - 1这一行的数据就可以了。转化为dp[j] = dp[j] + dp[j-1] 这种方式也叫滚动数组。

/*
二维的思路 O(m * n)
1、定义：dp[i][j]:到达[i, j]时，一共有dp[i, j]个路径
2、关系式：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
3、初始化
   dp[0][0...m - 1] = 1
   dp[0...n - 1][0] = 1

*/


//一维的 O(N)
class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
     //数组一行一行计算应该保存一列的值
        int[]dp = new int[n];

        // 初始值
        //最左边的一列
        for(int i = 0; i < n; i++){
            dp[i] = 1;
        }
       
        
        for(int i = 1; i < m; i++){
         //下面这个for循环表示计算第i行
            dp[0] = 1;
            for(int j = 1; j < n; j++){
                dp[j] = dp[j] + dp[j-1];
            }
        }

        return dp[n-1];

    }
}