睡不着还睡不醒
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高等数学零基础篇复习笔记

预备章 零基础高等数学入门知识

第一节 集合、运算与关系

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第二节 三角函数与反三角函数

三角函数的公式

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反三角函数

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第三节 常见不等式及数列

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划重点

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第一章 函数、极限与连续

第一节 函数及函数的初等特性

特殊函数

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反函数

函数的初等特性

①有界性

②奇偶性

        偶函数图像关于y轴对称，奇函数图像关于原点对称

        奇函数与偶函数之积为奇函数，奇函数与奇函数之积为偶函数

③单调性

④周期性

第二节 极限

基本性质

极限存在的充要条件是左右极限存在且相等

极限的基本性质

定理一（唯一性）：无论是数列极限还是函数关于自变量各种趋向，若极限存在必唯一

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定理二（有界性）：极限存在必有界，反之不成立

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定理三（保号性）：

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证明如下：

第三节 无穷小与无穷大

基本概念

无穷小的基本性质

1.有限个无穷小之和或差仍为无穷小

2.有界函数与无穷小之积仍为无穷小

3.常数与无穷小之积仍为无穷小

4.极限与无穷小的关系：

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协助证明：

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无穷小的等价性质

第四节 极限存在准则与重要极限

极限存在定理

夹逼定理

定理：

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证明：

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例题：

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单调有界定理

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例题：

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两个重要极限

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例题：高等数学零基础篇复习笔记_第19张图片 

第五节 连续与间断

连续

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间断

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闭区间上连续函数的性质

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章节重点习题

题型一 不定型极限计算

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题型二 利用夹逼定理求极限

题型三 无穷小的比较

题型四 间断点判断

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第二章 导数与微分

第一节 导数与微分的基本概念与性质

基本概念

导数：

微分：

函数f(x)在点x处可导的充要条件为f(x)在点x可微

求导基本工具

求导基本公式：

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导数的四则运算：

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链式法则：

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反函数的导数：

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第二节 隐函数及参数方程确定的函数的导数

隐函数的导数

F(x,y)=0确定y是x的函数，求y对x的各阶导数，只要将y看成x的表达式即可。

参数方程确定的函数的导数

章节重点习题

题型一 用导数定义求导及判断可导性

第三章 中值定理与导数的应用

第一节 中值定理与洛必达法则

费马定理

罗尔定理

拉格朗日中值定理

柯西中值定理

泰勒定理

常见麦克劳林公式：

补充例题：构造函数证明等式

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洛必达法则

适用情况：零比零型、无穷比无穷型

说明：使用洛必达法则后没有极限，只能说明洛必达法则对该题不适用，不能说明极限不存在

基本原理：分子分母同时求导得到的极限等于原分子比分母的极限

第二节 导数的应用

求函数极值点的步骤

注明：首先要看定义域

极值判定定理第二充分条件

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函数图像的凹凸性

凹凸性判别法：

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判别法证明：

曲线的渐近线

弧微分与曲率

章节重点习题

题型一 中值定理及应用

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题型二 不等式的证明

题型三 曲线的渐近线

第四章 不定积分

第一节 不定积分的基本概念与性质

第二节 不定积分的积分法

第一类换元积分

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典型例题：

第二类换元积分

典型例题：

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分部积分法

第三节 两类特殊函数的不定积分

有理函数的不定积分

多项式的除法：

三角函数有理式的不定积分

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典型例题：

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章节重点习题

题型一 函数与原函数问题

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题型二 第一类换元积分法

题型三 第二类换元积分法

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第五章 定积分及应用

第一节 定积分的基本概念与一般性质

积分中值定理的证明：

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tips：

第二节 定积分基本定理与定积分的特殊性质

变积分限的函数

定积分的基本定理

定理一：

划重点：

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定理二：

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定积分的特殊性质

对称区间的定积分性质

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三角函数的定积分性质

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周期函数的定积分性质

第三节 反常积分

反常积分的定义

区间无限的反常积分

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无界函数的反常积分

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第四节 定积分的几何应用

章节重点习题

题型一 定积分的基本性质

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题型二 定积分的常规计算

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第六章 微分方程

第一节 微分方程的基本概念与一阶微分方程

微分方程的基本概念

划重点：

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一阶微分方程的种类及解法

可分离变量的微分方程

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齐次微分方程

一阶齐次线性微分方程

一阶非齐次线性微分方程

第二节 可降阶的高阶微分方程

情况一：

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情况二：

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情况三：

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第三节 高阶线性微分方程

基本概念

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二阶线性微分方程的解的结构

二阶常系数线性微分方程的解

二阶常系数齐次线性微分方程

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二阶常系数非齐次线性微分方程

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第七章 多元函数微分学

第一节 多元函数微分学的基本概念

偏导数

高阶偏导数

有界闭区域上二元连续函数的性质

第二节 全微分

全微分的定义

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划重点：

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二元函数连续、可偏导、可微之间的关系

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第三节 多元函数求导法则

复合函数求导法则

隐函数（组）确定的函数求导法则

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第四节 多元函数的极值

无条件极值

条件极值

章节重点习题

题型一 多元函数的基本概念与性质

题型二 显函数、复合函数及隐函数求偏导

题型三 多元函数的极值

第八章 二重积分

第一节 二重积分的概念与性质

二重积分的对称性

章节重点习题

高等数学零基础篇复习到此结束，祝各位友友一战成硕~~

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