数据结构-二叉树
一、树型结构
1、概念
树是一种 非线性 的数据结构，它是由 n （ n>=0 ）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。 把它叫做树，是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的 。它具有以下的特点：
- 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点；
- 除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继；
- 树是递归定义的。
注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
2、概念（重要）
结点的度 ：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图： A 的度为 6树的度 ：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为 6叶子结点或终端结点 ：度为 0 的结点称为叶结点； 如上图： B 、 C 、 H 、 I... 等节点为叶结点双亲结点或父结点 ：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图： A 是 B 的父结点孩子结点或子结点 ：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图： B 是 A 的孩子结点根结点 ：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图： A结点的层次 ：从根开始定义起，根为第 1 层，根的子结点为第 2 层，以此类推树的高度或深度 ：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为 4
树的以下概念只需了解：
非终端结点或分支结点 ：度不为 0 的结点； 如上图： D 、 E 、 F 、 G... 等节点为分支结点兄弟结点 ：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图： B 、 C 是兄弟结点堂兄弟结点 ：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图： H 、 I 互为兄弟结点结点的祖先 ：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图： A 是所有结点的祖先子孙 ：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是 A 的子孙森林 ：由 m （ m>=0 ）棵互不相交的树组成的集合称为森林
3、树的表示形式（了解）
树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如： 双亲表示法 、孩子表示法 、 孩子双亲表示法 、 孩子兄弟表示法 等等。我们这里就简单的了解其中最常用的 孩子兄弟表示法 。
class Node {
int value; // 树中存储的数据
Node firstChild; // 第一个孩子引用
Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}
4、树的应用
文件系统管理（目录和文件）：
二、二叉树（重点）
1、概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：
- 或者为空
- 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
从上图可以看出：
- 二叉树不存在度大于2的结点
- 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
2、两种特殊的二叉树
1、 满二叉树 : 一棵二叉树，如果 每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树 。也就是说， 如果一棵 二叉树的层数为K，且结点总数是 2^k - 1 ，则它就是满二叉树。
2、 完全二叉树 : 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为 K 的，有 n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 K 的满二叉树中编号从 0 至 n-1 的结点一 一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
3、二叉树的性质
1. 若规定 根结点的层数为 1 ，则一棵 非空二叉树的第 i 层上最多有 2^(i - 1) (i>0) 个结点
2. 若规定只有 根结点的二叉树的深度为 1 ，则 深度为 K 的二叉树的最大结点数是 2^k - 1 (k>=0)
3. 对任何一棵二叉树 , 如果其 叶结点个数为 n0, 度为 2 的非叶结点个数为 n2, 则有 n0 ＝ n2 ＋ 1
4. 具有 n 个结点的完全二叉树的深度 k 为 log(n+1) （以2为底）上取整
5. 对于具有 n 个结点的完全二叉树 ，如果按照 从上至下从左至右的顺序对所有节点从 0 开始编号 ，则对于 序号为 i 的结点有 ：
- 若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
- 若2i+1
- 若2i+2
下面是几个例题：
1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）A 不存在这样的二叉树B 200C 198D 1992. 在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）A nB n+1C n-1D n/23. 一个具有 767 个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）A 383B 384C 385D 3864. 一棵完全二叉树的节点数为 531 个，那么这棵树的高度为（ ）A 11B 10C 8D 12答案：1.B 2.A 3.B 4.B
4、二叉树的存储
二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式 ，具体如下：
// 孩子表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
Node parent; // 当前节点的根节点
} 下面采用孩子表示法来构建二叉树。
5、二叉树的基本操作
5.1 前置说明
在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。 此处先手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树操作学习，这里并不是 二叉树真正的创建方式。
public class BinaryTree {
static class TreeNode {
public char val;
public TreeNode left;
public TreeNode right;
public TreeNode(char val) {
this.val = val;
}
}
public TreeNode CreateTree () {
TreeNode A = new TreeNode('A');
TreeNode B = new TreeNode('B');
TreeNode C = new TreeNode('C');
TreeNode D = new TreeNode('D');
TreeNode E = new TreeNode('E');
TreeNode F = new TreeNode('F');
TreeNode G = new TreeNode('G');
TreeNode H = new TreeNode('H');
A.left = B;
A.right = C;
B.left = D;
B.right = E;
C.left = F;
C.right = G;
E.right = H;
return A; //返回根节点
}
} 注意：上述代码并不是创建二叉树的方式。
再看二叉树基本操作前，再回顾下二叉树的概念， 二叉树是：
1. 空树
2. 非空：根节点，根节点的左子树、根节点的右子树组成的
从概念中可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。
5.2 二叉树的遍历
1. 前中后序遍历
学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓 遍历 (Traversal) 是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问 。 访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题 ( 比如：打印节点内容、节点内容加 1) 。 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。
在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱， 如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的 。如果 N 代表根节点， L 代表根节点的 左子树， R 代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：
-
NLR ：前序遍历 (Preorder Traversal 亦称先序遍历 )—— 访问根结点 ---> 根的左子树 ---> 根的右子树。
-
LNR ：中序遍历 (Inorder Traversal)—— 根的左子树 ---> 根节点 ---> 根的右子树。
-
LRN ：后序遍历 (Postorder Traversal)—— 根的左子树 ---> 根的右子树 ---> 根节点。
下面分别是递归方法和非递归方法实现前中后序遍历。
递归方法：
//先序遍历
public void preOrder(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
System.out.print(root.val+" ");
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
}
//中序遍历
public void inOrder(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
inOrder(root.left);
System.out.print(root.val+" ");
inOrder(root.right);
}
//后序遍历
public void postOrder(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
postOrder(root.left);
postOrder(root.right);
System.out.print(root.val+" ");
}非递归方法：
//非递归方法先序遍历
public void preOrderNor(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
Stack stack = new Stack<>();
TreeNode cur = root;
while (cur != null || !stack.isEmpty()) {
while (cur != null) {
stack.push(cur);
System.out.print(cur.val+" ");
cur = cur.left;
}
TreeNode top = stack.pop();
cur = top.right;
}
}
//非递归方法中序遍历
public void inOrderNor(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
Stack stack = new Stack<>();
TreeNode cur = root;
while (cur != null||!stack.isEmpty()) {
while (cur != null) {
stack.push(cur);
cur = cur.left;
}
TreeNode top = stack.pop();
System.out.print(top.val+" ");
cur = top.right;
}
}
//非递归方法后序遍历
public void postOrderNor(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
TreeNode prev=null;
Stack stack = new Stack<>();
TreeNode cur = root;
while (cur != null||!stack.isEmpty()) {
while (cur != null) {
stack.push(cur);
cur = cur.left;
}
TreeNode top = stack.peek();
if (top.right==null || top.right==prev) {
System.out.print(top.val+" ");
stack.pop();
prev = top;
}else {
cur = top.right;
}
}
} 下面用图来主要分析前序递归遍历，中序与后序图解类似。
该二叉树的：
- 前序遍历结果：1 2 3 4 5 6
- 中序遍历结果：3 2 1 5 4 6
- 后序遍历结果：3 2 5 6 4 1
2. 层序遍历
层序遍历 ：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为 1 ，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第 2 层 上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
下面是一些相关例题：
1. 某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为 ()A: ABDHECFG B: ABCDEFGH C: HDBEAFCG D: HDEBFGCA2. 二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历： EFHIGJK; 中序遍历： HFIEJKG. 则二叉树根结点为 ()A: E B: F C: G D: H3. 设一课二叉树的中序遍历序列： badce ，后序遍历序列： bdeca ，则二叉树前序遍历序列为 ()A: adbce B: decab C: debac D: abcde4. 某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出 ( 同一层从左到右 ) 的序列为 ()A: FEDCBA B: CBAFED C: DEFCBA D: ABCDEF【答案】 1.A 2.A 3.D 4.A
5.3 二叉树的基本操作
// 获取树中节点的个数int size ( Node root );// 获取叶子节点的个数int getLeafNodeCount ( Node root );// 子问题思路 - 求叶子结点个数// 获取第 K 层节点的个数int getKLevelNodeCount ( Node root , int k );// 获取二叉树的高度int getHeight ( Node root );// 检测值为 value 的元素是否存在Node find ( Node root , int val );// 层序遍历void levelOrder ( Node root );// 判断一棵树是不是完全二叉树boolean isCompleteTree ( Node root );
下面是这些基本操作的具体实现代码：
//统计树的节点个数
public int size(TreeNode root) {
if (root == null) {
return 0;
}
return size(root.left)+size(root.right) +1;
}
public int leafNoteSize;
//获取叶子结点的个数
//遍历方法
public int getLeafNodeCount(TreeNode root) {
if (root == null) {
return 0;
}
if (root.left==null&&root.right==null) {
leafNoteSize++;
}
getLeafNodeCount(root.left);
getLeafNodeCount(root.right);
return leafNoteSize;
}
//子问题方法求叶子结点个数
public int getLeafNodeCount2(TreeNode root) {
if (root == null) {
return 0;
}
if (root.left==null&&root.right==null) {
return 1;
}
return getLeafNodeCount2(root.left)+getLeafNodeCount2(root.right);
}
//获取二叉树的第k层节点个数
public int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k) {
if (root == null||k == 0) {
return 0;
}
if (k == 1) {
return 1;
}
return getKLevelNodeCount(root.left,k-1)+getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
}
// 获取二叉树的高度
public int getHeight(TreeNode root) {
if (root == null) {
return 0;
}
int leftHeight = getHeight(root.left);
int rightHeight = getHeight(root.right);
return leftHeight > rightHeight ? leftHeight+1:rightHeight+1;
}
// 检测值为value的元素是否存在
public TreeNode find(TreeNode root, int val) {
if (root == null) {
return null;
}
if (root.val == val) {
return root;
}
TreeNode leftNode = find(root.left,val);
if (leftNode != null) {
return leftNode;
}
TreeNode rightNode = find(root.right,val);
if (rightNode != null) {
return rightNode;
}
return null;
}
//二叉树层序遍历
void levelOrder(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
Queue queue = new LinkedList<>();
queue.offer(root); //先存在队列里
while (!queue.isEmpty()) {
TreeNode cur = queue.poll();
System.out.print(cur.val+" ");
if (cur.left != null) {
queue.offer(cur.left);
}
if (cur.right != null) {
queue.offer(cur.right);
}
}
}
//判断是否为完全二叉树
boolean isCompleteTree(TreeNode root) {
if (root == null) {
return false;
}
Queue queue = new LinkedList<>();
queue.offer(root);
while (!queue.isEmpty()){
TreeNode cur = queue.poll();
if (cur!=null) {
queue.offer(cur.left);
queue.offer(cur.right);
}else {
break;
}
}
while (!queue.isEmpty()) {
TreeNode cur1 = queue.poll();
if (cur1 == null) {
queue.poll();
}else {
return false;
}
}
return true;
}