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EKF学习笔记

Extended Kalman filter

  • 1、历史
  • 2、方程
  • 3、离散时间的预测和更新等式
  • 4、缺点
  • 5、Generalizations
    • 连续时间EKF
    • 离散时间EKF
    • 高阶EKF
    • 非加性噪声的情况
  • 6、Modifications
  • 7、EKF简单理解

维基百科
EKF是非线性化版的KF，当transition模型很好时，EKF可以当做最优估计

1、历史

EKF来源于1959-1961年发表的关于KF论文，KF是具有加性高斯白噪声的线性系统的最佳估计方法，但是由于实际系统中大多数是非线性系统，因此NASA Ames提出了EKF，它利用了微积分和泰勒级数的知识，将非线性系统展开成线性系统的叠加。如果系统模型不知道或者不准确，则使用如粒子滤波的蒙特卡洛方法会得到更好的估计，但是蒙特卡洛的方法计算复杂度更高。

2、方程

在这里插入图片描述
其中wk和vk是处理和观测噪声，同样也假设系统具有多向量的加性高斯白噪声，并且对应的方差为Qk和Rk；uk是控制向量；f是利用之前的状态来估计当前状态的函数；h是利用之前的观测值来估计当前观测值的函数，当前不好直接拿它们计算方差，而是计算它们的偏导数，也就是雅克比矩阵。

3、离散时间的预测和更新等式

EKF学习笔记_第1张图片

  • Fk是描述上一个状态和预测状态之间关系的矩阵，它是预测量与上一个状态量之间的雅克比矩阵
  • Qk是描述预测不确定性的协方差矩阵
  • Hk是描述预测状态和观测量之间关系的观测矩阵，他是观测量关于预测量之间的雅克比矩阵
  • Pk|k-1是指预测的协方差矩阵
  • Rk是观测噪声对应的协方差矩阵
  • Kk是卡尔曼增益，它描述了预测均值和测量均值的差对新的更新量造成的影响倍数
  • Pk|k是协方差的更新量，也就是较为准确的值
  • Sk是预测和更新合起来的误差对应的协方差矩阵

4、缺点

EKF在非线性模型中并不是最优估计，而且如果初始条件不准确或者处理模型不准确，滤波器可能快速发散，以及EKF会低估协方差矩阵。

5、Generalizations

连续时间EKF

EKF学习笔记_第2张图片

离散时间EKF

在这里插入图片描述
EKF学习笔记_第3张图片

高阶EKF

当测量噪声比较小的时候使用高阶EKF才会好处比较多。

非加性噪声的情况

EKF学习笔记_第4张图片

6、Modifications

7、EKF简单理解

参考https://towardsdatascience.com/extended-kalman-filter-43e52b16757d

在KF中默认做了两个假设
在这里插入图片描述
但是在现实情况中，第二个假设往往是不成立的，继续使用KF会导致以下问题
EKF学习笔记_第5张图片

EKF学习笔记_第6张图片
为了解决这个问题，EKF中对非线性函数进行泰勒展开，然后用一次项也就是线性项来近似非线性函数，这可以得到如下结果
EKF学习笔记_第7张图片

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