电机控制学习笔记——PMSM数学模型

0 引言

  要实现对永磁同步电机的精准控制，首先需要对永磁同步电机进行建模，获得其电压方程、磁链方程、转矩方程和运动方程，在此基础上，才能进一步研究其控制策略。而永磁同步电机是一个非线性时变的复杂系统，各变量之间的关系及计算较为复杂，建模之后还需要用坐标变换进行简化。

1 电压方程和磁链方程

  由于电机定转子存在相对运动，气隙磁密存在谐波，导致电磁关系复杂；若再考虑电流谐波，磁路饱和，以及电导、磁导等参数摄动，系统复杂程度将进一步提高。为简化分析，便于建模和设计对应的控制策略，往往对PMSM作出以下假设${}^{[1]}$：
  1）三相绕组对称，空间互差2π/3电角度；
  2）忽略磁路饱和；
  3）不计磁滞损耗和涡流损耗；
  4）忽略齿槽效应，每相磁动势沿气隙正弦分布；
  5）转子无阻尼绕组。
  因此，PMSM在三相静止$a-b-c$坐标系下的电压方程和磁链方程可建立为：
$${\mathbf{u}}_{abc}=R_s{\mathbf{i}}_{abc}+p{\mathbf{\psi }}_{abc}^s\text{\hspace{1em}(1)}$$$${\mathbf{\psi }}_{abc}^s={\mathbf{L}}_{abc}{\mathbf{i}}_{abc}+{\mathbf{\psi }}_{abc}^r\text{\hspace{1em}(2)}$$其中：$p$为微分算子，$p=\mathrm{d}\left(\cdot \right)/\mathrm{d}t$；
   ${\mathbf{i}}_{abc}$为定子相电流矢量，${\mathbf{i}}_{abc}={\left[\begin{array}{ccc}{i}_a& i_b& i_c\end{array}\right]}^T$；
   ${\mathbf{u}}_{abc}$为定子相电压矢量，${\mathbf{u}}_{abc}={\left[\begin{array}{ccc}{u}_a& u_b& u_c\end{array}\right]}^T$；
   ${\mathbf{\psi }}_{abc}^s$为定子磁链矢量，${\mathbf{\psi }}_{abc}^s={\left[\begin{array}{ccc}{\psi }_a^s& {\psi }_b^s& {\psi }_c^s\end{array}\right]}^T$；
   ${\mathbf{\psi }}_{abc}^r$为转子磁链矢量，${\mathbf{\psi }}_{abc}^r={\psi }_f{\left[\begin{array}{ccc}\cos {\theta }_e& \cos ({\theta }_e-\frac{2\pi }{3})& \cos ({\theta }_e+\frac{2\pi }{3})\end{array}\right]}^T$；
   $R_s$为定子绕组相电阻；
   ${\psi }_f$为转子永磁体磁链幅值；
   ${\theta }_{\mathrm{e}}$为转子电角度，定义为转子永磁体轴线逆时针超前a相的夹角；
   ${\mathbf{L}}_{abc}$为三相定子绕组电感矩阵，只考虑基波气隙磁场，电感矩阵可写为：
$${\mathbf{L}}_{\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{c}}=\left[\begin{array}{ccc}{L}_{aa}& M_{ab}& M_{ac}\\ M_{ba}& L_{bb}& M_{bc}\\ M_{ca}& M_{cb}& L_{cc}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(3)}$$  其中，电感矩阵主对角线元素分别为定子a相、b相、c相绕组的自感，$M_{ab}$为a相和b相绕组之间的互感，且$M_{ab}=M_{ba},M_{ac}=M_{ca},M_{bc}=M_{cb}$。

图1 坐标变换示意图

  三相静止坐标系下的PMSM数学模型十分复杂，在实际应用中通常需要通过坐标变换进行简化。首先，通过Clarke变换，将电机方程从三相静止$a-b-c$坐标系转换到两相静止$\alpha -\beta$坐标系，如图1所示。忽略电压电流零序分量，变换矩阵为：
$$abc\to \alpha \beta \text{：}{C}_{3s/2s}=\frac{2}{3}\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4)}$$  式中，系数2/3保证坐标变换前后各物理量幅值不变。
  因此，经过Clarke变换后，两相静止$\alpha -\beta$坐标系下的电压方程和磁链方程为：
$${\mathbf{u}}_{\alpha \beta }=R_s{\mathbf{i}}_{\alpha \beta }+p{\mathbf{\psi }}_{\alpha \beta }^s\text{\hspace{1em}(5)}$$$${\mathbf{\psi }}_{\alpha \beta }^s={\mathbf{L}}_{\alpha \beta }{\mathbf{i}}_{\alpha \beta }+{\mathbf{\psi }}_{\alpha \beta }^r\text{\hspace{1em}(6)}$$其中，${\mathbf{i}}_{\alpha \beta }$为$\alpha -\beta$坐标系下的定子电流矢量，${\mathbf{i}}_{\alpha \beta }={\left[\begin{array}{cc}{i}_{\alpha }& i_{\beta }\end{array}\right]}^T$；
   ${\mathbf{u}}_{\alpha \beta }$为$\alpha -\beta$坐标系下的定子电压矢量，${\mathbf{u}}_{\alpha \beta }={\left[\begin{array}{cc}{u}_{\alpha }& u_{\beta }\end{array}\right]}^T$；
   ${\mathbf{\psi }}_{\alpha \beta }^s$为$\alpha -\beta$坐标系下的定子磁链矢量，${\mathbf{\psi }}_{\alpha \beta }^s={\left[\begin{array}{cc}{\psi }_{\alpha }^s& {\psi }_{\beta }^s\end{array}\right]}^T$；
   ${\mathbf{\psi }}_{\alpha \beta }^r$为$\alpha -\beta$坐标系下的转子磁链矢量，${\mathbf{\psi }}_{\alpha \beta }^r={\psi }_f{\left[\begin{array}{cc}\cos {\theta }_e& \sin {\theta }_e\end{array}\right]}^T$；
   ${\mathbf{L}}_{\alpha \beta }$为$\alpha -\beta$坐标系下的定子电感矩阵：
$${\mathbf{L}}_{\alpha \beta }=\left[\begin{array}{cc}{L}_{\alpha \alpha }& L_{\alpha \beta }\\ L_{\beta \alpha }& L_{\beta \beta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{L}_0+L_1\cos \left(2{\theta }_e\right)& L_1\sin \left(2{\theta }_e\right)\\ L_1\sin \left(2{\theta }_e\right)& L_0-L_1\cos \left(2{\theta }_e\right)\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(7)}$$其中，$L_{\alpha \alpha }$、$L_{\beta \beta }$为$\alpha$、$\beta$轴自感；
   $L_{\alpha \beta }$、$L_{\beta \alpha }$为$\alpha$、$\beta$轴互感，且$L_{\alpha \beta }=L_{\beta \alpha }$；
   $L_0=\left(L_d+L_q\right)/2$，称为均值电感；
   $L_1=\left(L_d-L_q\right)/2$，称为半差电感；
   $L_d$、$L_q$分别为$d$轴电感和$q$轴电感。
  为消除方程中的时变参数${\theta }_e$，需要通过Park变换，将电机方程从两相静止$\alpha -\beta$坐标系转换到两相旋转$d-q$坐标系，如图1所示。变换矩阵为：
$$\alpha \beta \to dq\text{：}{C}_{2s/2r}=\left[\begin{array}{cc}\cos {\theta }_e& \sin {\theta }_e\\ -\sin {\theta }_e& \cos {\theta }_e\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(8)}$$  将Park变换矩阵代入式(5)，即可得到$d-q$坐标系下的电压方程：
$$\begin{gathered} {\mathbf{u}}_{dq}=R_s{\mathbf{i}}_{dq}+\left(p+j{\omega }_e\right)\left({\mathbf{\psi }}_{dq}^r+{\mathbf{L}}_{dq}{\mathbf{i}}_{dq}\right) \\ =\left(R_s+{\mathbf{L}}_{dq}p\right){\mathbf{i}}_{dq}-{\omega }_e{L}_q{i}_q+j{\omega }_e\left({\psi }_f+L_d{i}_d\right)\text{\hspace{1em}(9)} \end{gathered}$$  将式(9)还原成矩阵形式，可得$d-q$坐标系下的电压方程和磁链方程：
$$\left[\begin{array}{c}{u}_d\\ u_q\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rl}& \begin{array}{cc}R+L_{\mathrm{d}}p& -{\omega }_e{L}_q\end{array}\\ & \begin{array}{cc}{\omega }_e{L}_d& R+L_{q}p\end{array}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_d\\ i_q\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ {\omega }_e{\psi }_f\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(10)}$$$$\left[\begin{array}{c}{\psi }_d^s\\ {\psi }_q^s\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{L}_d& 0\\ 0& L_q\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_d\\ i_q\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\psi }_f\\ 0\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(11)}$$其中，$u_d$和$u_q$分别表示同步坐标系下的d轴和q轴电压；
   $i_d$和$i_q$分别表示同步坐标系下的d轴和q轴电流；
   ${\omega }_e$是转子电角速度（rad/s）；
   ${\psi }_f$是永磁体磁链；
   $R$是定子绕组电阻。

2 转矩方程和运动方程

  永磁同步电机的瞬时功率可定义为：
$$P={\mathbf{u}}_{abc}^T{\mathbf{i}}_{abc}\text{\hspace{1em}(12)}$$  采用恒幅值变换，两相旋转$d-q$坐标系下的瞬时功率可表示为：
$$P=\frac{3}{2}{\mathbf{u}}_{dq}^T{\mathbf{i}}_{dq}\text{\hspace{1em}(13)}$$  将电压方程式(10)代入式(13)，得：
$$P=\frac{3}{2}\left[R_s\left(i_d^2+i_q^2\right)+\left(L_d{i}_d\frac{\mathrm{d}{i}_d}{\mathrm{d}t}+L_q{i}_q\frac{\mathrm{d}{i}_q}{\mathrm{d}t}\right)+{\omega }_e\left({\psi }_f{i}_q+\left(L_d-L_q\right)i_d{i}_q\right)\right]\text{\hspace{1em}(14)}$$  式(14)右侧第一项对应定子绕组铜耗，第二项对应定子电感储能变化导致的功率波动，第三项对应定子电流和反电势相互作用产生的功率，也是电机输入功率耦合到转子上的功率，即电磁功率$P_e$。从而，电磁转矩$T_e$可记为：
$$T_e=\frac{3}{2}{n}_p[{\psi }_f+i_d\left(L_d-L_q\right)]i_q\text{\hspace{1em}(15)}$$其中，$n_p$为PMSM的极对数。
  由式(15)可知，对于SPMSM，$L_d=L_q$，转矩表达式只与$i_q$和${\psi }_f$有关，电机转矩特性将与直流电机类似；而对于IPMSM，$L_d\ne L_q$，转矩表达式还附带$d$、$q$轴电感的差值与$i_d$乘积相关项，称为磁阻转矩，是由转子凸极效应引起的，该效应有利于提升电机转矩密度和扩展弱磁扩速区间。
  根据牛顿第二定律，PMSM的转子运动方程如式(16)所示：
$$J\frac{\mathrm{d}{\omega }_r}{\mathrm{d}t}=T_e-T_L-B{\omega }_r\text{\hspace{1em}(16)}$$
其中，${\omega }_r$是电机机械角速度；
   $J$是电机转动惯量；
   $T_L$是负载转矩；
   $B$是阻尼粘滞系数。

参考文献

[1] 李永东. 交流电机数字控制系统[M]. 机械工业出版社, 2017