MATLAB实现灰色预测

        久违了，前段时间由于学习压力大，就没怎么更新MATLAB相关的内容，今天实在学不进去了，换个内容更新一下~

        本贴介绍灰色预测模型，这也是数学建模竞赛常见算法中的一员，和许多预测模型一样——底层原理是根据已知数据对未知进行预测~

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一.理论部分

        灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行预测，就是对在一定范围内变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。 灰色预测对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，并生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。

        灰色系统理论运用灰色数学处理不确定性量化问题，并充分利用已知信息，寻求系统运动规律。其独特之处在于适用于处理信息匮乏的系统。

        灰色生成是通过对原始数据进行特定要求的处理，揭示出数据背后的内在规律。常用的生成方法包括累加生成、累减均值生成和级比生成。

所谓的GM(1,1)模型: Grey(Gray) Model，本质上就是一维层面的预测~

至于模型更底层复杂的数学原理就不展开详解了，大家自行收集资料，此处主要讲解套路~

二.例题讲解

如下是有关棉花生产的数据：

年份	单产	种子费	化肥费	农药费	机械费	灌溉费
	kg/公顷	元/公顷	元/公顷	元/公顷	元/公顷	元/公顷
1990	1017	106.05	495.15	305.1	45.9	56.1
1991	1036.5	113.55	561.45	343.8	68.55	93.3
1992	792	104.55	584.85	414	73.2	104.55
1993	861	132.75	658.35	453.75	82.95	107.55
1994	901.5	174.3	904.05	625.05	114	152.1
1995	922.5	230.4	1248.75	834.45	143.85	176.4
1996	916.5	238.2	1361.55	720.75	165.15	194.25
1997	976.5	260.1	1337.4	727.65	201.9	291.75
1998	1024.5	270.6	1195.8	775.5	220.5	271.35
1999	1003.5	286.2	1171.8	610.95	195	284.55
2000	1069.5	282.9	1151.55	599.85	190.65	277.35
2001	1168.5	317.85	1105.8	553.8	211.05	290.1
2002	1228.5	319.65	1213.05	513.75	231.6	324.15
2003	1023	368.4	1274.1	567.45	239.85	331.8
2004	1144.5	466.2	1527.9	487.35	408	336.15

假设我们不知道2005-2007这三年的单产数据，请你用过去15年的数据来预测这三年的产量。

1.传统GM模型的代码

function [result, x0_hat, relative_residuals, eta] = gm11(x0, predict_num)
    n = length(x0); 
    x1=cumsum(x0); 
    z1 = (x1(1:end-1) + x1(2:end)) / 2;  
    y = x0(2:end); x = z1; 
    k = ((n-1)*sum(x.*y)-sum(x)*sum(y))/((n-1)*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x));
    b = (sum(x.*x)*sum(y)-sum(x)*sum(x.*y))/((n-1)*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x));
    a = -k;  
    x0_hat=zeros(n,1);  x0_hat(1)=x0(1);   
    for m = 1: n-1
        x0_hat(m+1) = (1-exp(a))*(x0(1)-b/a)*exp(-a*m);
    end
    result = zeros(predict_num,1);  
    for i = 1: predict_num
        result(i) = (1-exp(a))*(x0(1)-b/a)*exp(-a*(n+i-1)); 
    end
    absolute_residuals = x0(2:end) - x0_hat(2:end);   
    relative_residuals = abs(absolute_residuals) ./ x0(2:end); 
   
    class_ratio = x0(2:end) ./ x0(1:end-1) ;  
    eta = abs(1-(1-0.5*a)/(1+0.5*a)*(1./class_ratio));  
end

2.原始数据检验

此处选用【单产】作为示例~

year =[1995:1:2001]';  % 横坐标表示年份，写成列向量的形式（加'就表示转置）
yield= [1017
1036.5
792
861
901.5
922.5
916.5
976.5
1024.5
1003.5
1069.5
1168.5
1228.5
1023
1144.5
]';  %原始数据序列，写成列向量的形式（加'就表示转置）

ERROR = 0;  % 建立一个错误指标，一旦出错就指定为1
% 判断是否有负数元素
if sum(yield<0) > 0 
    disp('灰色预测的时间序列中不能有负数！')
    ERROR = 1;
end

% 判断数据量是否太少
n = length(yield);  % 计算原始数据的长度
disp(strcat('原始数据的长度为',num2str(n)))    
if n<=3
    disp('数据量太小')
    ERROR = 1;
end

% 数据太多时提示可考虑使用其他方法
if n>10
    disp('考虑使用其他的方法')
end

% 判断数据是否为列向量，如果输入的是行向量则转置为列向量
if size(yield,1) == 1
    yield = yield';
end
if size(year,1) == 1
    year = year';
end

3.准指数规律检验

if ERROR == 0    
    disp('准指数规律检验')
    x1 = cumsum(yield);  
    rho = yield(2:end) ./ x1(1:end-1) ;   
    rho
   
    figure(2)
    plot(year(2:end),rho,'o-',[year(2),year(end)],[0.5,0.5],'-'); 
    grid on;
    text(year(end-1)+0.2,0.55,'临界线')   
    set(gca,'xtick',year(2:1:end)) 
    xlabel('年份');  ylabel('原始数据的光滑度');  
    
    disp(strcat('指标1：光滑比小于0.5的数据占比为',num2str(100*sum(rho<0.5)/(n-1)),'%'))
    disp(strcat('指标2：除去前两个时期外，光滑比小于0.5的数据占为',num2str(100*sum(rho(3:end)<0.5)/(n-3)),'%'))
    disp('参考标准：指标1一般要大于60%, 指标2要大于90%！')   
    Judge = input('你认为可以通过准指数规律的检验吗？可以通过请输入1，不能请输入0：');
    if Judge == 0
        disp('灰色预测模型不适合你的数据！')
        ERROR = 1;
    end
end

4.传统的GM（1,1）预测

        if n > 7
            test_num = 3;
        else
            test_num = 2;
        end
        train_yield = yield(1:end-test_num);  
        disp('训练数据是: ')
        disp(mat2str(train_yield')) 
        test_yield = yield(end-test_num+1:end); 
        disp('试验数据是: ')
        disp(mat2str(test_yield')) 

 

disp(' ')
   disp('***下面是传统的GM(1,1)模型预测的详细过程***')
   result1 = gm11(train_yield, test_num);

5.评估误差精度

    %% 残差检验
    average_relative_residuals = mean(relative_residuals); 
    disp(strcat('平均相对残差为',num2str(average_relative_residuals)))
    if average_relative_residuals<0.1
        disp('该模型对原数据的拟合程度非常不错！')
    elseif average_relative_residuals<0.2
        disp('该模型对原数据的拟合程度达到一般要求！')
    else
        disp('该模型对原数据的拟合程度不太好！')
    end
    
    %% 级比偏差检验
    average_eta = mean(eta);   % 计算平均级比偏差
    disp(strcat('平均级比偏差为',num2str(average_eta)))
    if average_eta<0.1
        disp('该模型对原数据的拟合程度非常不错！')
    elseif average_eta<0.2
        disp('该模型对原数据的拟合程度达到一般要求！')
    else
        disp('该模型对原数据的拟合程度不太好！')
    end
    disp(' ')

答案如下，大家自己尝试（每个单独预测一遍，因为GM（1,1）只针对一维数据~）

年份	单产	种子费	化肥费	农药费	机械费	灌溉费
	kg/公顷	元/公顷	元/公顷	元/公顷	元/公顷	元/公顷
2005	1122	449.85	1703.25	555.15	402.3	358.8
2006	1276.5	537	1888.5	637.2	480.75	428.4
2007	1233	565.5	2009.85	715.65	562.05	456.9

 

三.实战案例

1.2022年美赛C题

 

        根据现有数据，通过灰色预测模型，预测比特币和黄金两种波动资产的走向，拟合优度较高，残差与级比偏差均很低，预测模型的可信度较高~

2.2022亚太赛C题

上图是准指数检验~

 通过BP神经网络、多元线性回归以及灰色预测3种方式预测气温变化~结果可信度较高