程序员面试金典 - 面试题 17.21. 直方图的水量

题目难度: 困难

原题链接

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题目描述

给定一个直方图(也称柱状图)，假设有人从上面源源不断地倒水，最后直方图能存多少水量?直方图的宽度为 1。

上面是由数组 [0,1,0,2,1,0,1,3,2,1,2,1] 表示的直方图，在这种情况下，可以接 6 个单位的水（蓝色部分表示水）。  感谢 Marcos 贡献此图。

示例:

• 输入: [0,1,0,2,1,0,1,3,2,1,2,1]
• 输出: 6

题目思考

1. 如何将问题简化?

解决方案

思路

• 这道题乍一看无从下手, 如何直接求出总的蓄水量呢?
• 这里我们可以将题目进行一些简化, 就是单独求出宽度为 1 的每个柱子的蓄水量, 然后汇总起来, 这样就能得到总的蓄水量
• 那如何求单个柱子的蓄水量呢? 最开始我们可能想到利用相邻的柱子, 求出它们中较低的高度, 然后计算与当前柱子的高度差作为蓄水量, 但这似乎还不够
• 例如上例最中间的柱子 (…,1,0,1,…的 0), 它两侧柱子的高度都是 1, 最终却能存高度为 2 的水
• 这是为什么呢? 重新观察例子, 我们可以发现, 最中间的柱子 0 的蓄水量不是只由它的邻居决定, 而是由它左右两侧的最高柱子所决定
• 它左侧的最高柱子高度为 2, 右侧是 3
• 根据木桶原理, 最短板决定了桶的高度, 所以柱子 0 所在的桶的高度就是 2
• 那么它的蓄水量就是桶高度减去它自身的高度, 2-0 = 0
• 以此类推, 其他柱子的蓄水量也可以通过同样方式计算得到, 最后累加起来即为最终结果
• 有了上面的分析, 我们就很好实现代码了:
  • 首先维护一个长度为 n 的列表, 存储当前下标左侧的最高高度
  • 然后从左向右遍历, 维护当前左侧最高高度, 并更新到该列表中
  • 最后再从右向左遍历, 同样得到右侧最高高度
  • 这样如果当前柱子的高度小于其左右最高高度的较小值时, 就说明该柱子能够蓄水, 其高度差就是蓄水量
• 下面代码有详细的注释, 方便大家理解

复杂度

• 时间复杂度 O(N): 只需要顺序和逆序各遍历 1 次
• 空间复杂度 O(N): 维护了长度为 N 的左侧最高高度列表

代码

class Solution:
    def trap(self, height: List[int]) -> int:
        # 维护当前柱子的左侧最高高度
        lmxs = []
        lmx = 0
        for h in height:
            # 正序遍历, 记录左侧最高高度
            lmxs.append(lmx)
            # 注意左侧最高高度不能是柱子本身, 所以先追加再更新
            lmx = max(lmx, h)
        rmx = 0
        res = 0
        for i in range(len(height))[::-1]:
            # 逆序遍历, 记录右侧最高高度
            # 注意这里无需列表, 直接更新当前最大值即可
            h = height[i] # 当前柱子高度
            bh = min(lmxs[i], rmx) # 桶高度
            if bh > h:
                # 桶高度大于当前柱子高度, 则其高度差就是蓄水量
                res += bh - h
            # 右侧最高高度同样不能是柱子本身
            rmx = max(rmx, h)
        return res

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