快速幂极简写法&快速幂求逆元

快速幂原理介绍

求，时间复杂度O()

快速幂模板

int qmi(int a, int k, int p) {
	int res = 1;
	while (k) {
		//后面的a其实是底数与其指数的运算结果了，是不断迭代的
		//第一个a其实就是a的2的0次方
		if (k & 1) res = (res * a) % p;

		a = (a * a) % p;
		//注意，a是一个不断变化的过程
		//下一个a就等于上一个a的平方，
		
		k >>= 1;
	}
	return res;
}

快速幂求逆元

首先要知道什么是逆元。

在模运算下，如果存在一个数 b，使得 (a * b) mod p = 1，a不是p的倍数，那么我们称 b 是 a 在模 p 下的逆元。

费马小定理：假设我们需要计算 a 在模 p 下的逆元，即要找到一个数 b，使得 (a * b) mod p = 1。根据费马小定理，当 a 不是 p 的倍数时，有 a^(p-1) mod p = 1。将其变形为 a^(p-2) mod p = a^(-1) (mod p)，即 a 的逆元（a^(-1)）等于 a^(p-2) 在模 p 下的余数。因此，我们只需使用快速幂算法计算 a^(p-2) mod p 即可得到 a 在模 p 下的逆元。

例题：

分析：

1.先看逆元存不存在，不存在就输出impossible。如果a不是p的倍数（a%p!=0），逆元才存在。

2.如果逆元存在，用快速幂算 a^(p-2) mod p 即可

int qmi(int a, int k, int p) {
	int res = 1;
	while (k) {
		//后面的a其实是底数与其指数的运算结果了，是不断迭代的
		//第一个a其实就是a的2的0次方
		if (k & 1) res = (res * a) % p;

		a = (a * a) % p;
		//注意，a是一个不断变化的过程
		//下一个a就等于上一个a的平方，
		
		k >>= 1;
	}
	return res;
}

bool check(int a, int p) {
	if (a % p == 0) return true;
	
	return false;
}
signed main() {
	int t; cin >> t;
	while (t--) {
		int a, p; cin >> a >> p;
		if (check(a, p)) {
			cout << "impossible" << endl;
			continue;
		}
		cout << qmi(a, p - 2, p) << endl;

	}


	retu

补充知识点：负数取模

假设我们要计算 a mod b，其中 a 和 b 都是整数，b 是正整数。

1. 如果 a 是非负数，则 a mod b 的结果就是 a % b。

2. 如果 a 是负数，则 a mod b 的结果可以通过以下公式计算：

   a mod b = (a % b + b) % b

这个公式确保了无论 a 是正数还是负数，最终的结果都会落在 0 到 b-1 的范围内。

举个例子，假设 a = -5，b = 3，那么根据上述公式：

-5 mod 3 = (-5 % 3 + 3) % 3 = (-2 + 3) % 3 = 1

因此，-5 除以 3 的余数是 1。这个公式可以确保负数取模的结果符合预期的数学定义。